משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל ${\displaystyle \ f_{0}}$ מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט

יהי ${\displaystyle \,L}$ מרחב בנך מעל השדה ${\displaystyle \,F}$ (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב ${\displaystyle \ L_{0}\subset L}$, ופונקציה תת-ליניארית ${\displaystyle \ \rho :L\rightarrow {\mathbb {R} }}$ (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי ${\displaystyle \ f_{0}:L_{0}\rightarrow F}$ החסום על ידי ${\displaystyle \ \rho }$ (כלומר: ${\displaystyle \ |f_{0}(x)|\leq \rho (x)}$ לכל ${\displaystyle \ x\in L_{0}}$) אפשר להרחיב לפונקציונל ${\displaystyle \ f:L\rightarrow F}$ שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

1. ${\displaystyle \ \forall x\in L_{0}\ :\ f(x)=f_{0}(x)}$ (כלומר: ${\displaystyle \ f}$ הוא אכן הרחבה של ${\displaystyle \ f_{0}}$).
2. ${\displaystyle \ \forall x\in L\ :\ |f(x)|\leq \rho (x)}$ (כלומר: ${\displaystyle \ f}$ חסום גם כן על ידי ${\displaystyle \,\rho }$).

מסקנות ושימושים

• קיום הרחבה שומרת נורמה:

אם ${\displaystyle \ L}$ הוא מרחב בנך ו-${\displaystyle \ M}$ הוא תת-מרחב שלו, ואם ${\displaystyle f_{0}:M\to \mathbb {R} }$ הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על ${\displaystyle \ M}$, אזי קיימת לו הרחבה ${\displaystyle f:L\to \mathbb {R} }$ רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: ${\displaystyle \|f_{0}\|_{L_{0}^{*}}=\|f\|_{L^{*}}}$. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: ${\displaystyle \ f_{0}(x)\leq \|f_{0}\|_{*}\cdot \|x\|}$, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, ${\displaystyle \,\mathbb {R} }$ הוא אובייקט אינג'קטיבי.

• משפט ההפרדה בין נקודות:

${\displaystyle \ \forall x_{0}\neq 0\ :\ \exists f_{0}\neq 0\ {\mbox{bounded functional}}\,\ {\mbox{such that}}\ :\ \ f_{0}(x_{0})=\|f_{0}\|\cdot \|x_{0}\|\neq 0}$.

בפרט, אם נגדיר ${\displaystyle \ x_{0}=x_{1}-x_{2}}$ עבור ${\displaystyle \ x_{1}\neq x_{2}}$ אזי נקבל שקיים פונקציונל ${\displaystyle \ f_{0}\neq 0}$ כך ש ${\displaystyle \ f_{0}(x_{1})\neq f_{0}(x_{2})}$. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.

• משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:

יהי ${\displaystyle \ L}$ מרחב בנך ויהי ${\displaystyle \ M}$ הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי ${\displaystyle \ z\notin {\overline {M}}}$ נקודה שאיננה בסגור של ${\displaystyle \ M}$, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) ${\displaystyle \ f:M\to \mathbb {R} }$ כך ש:

1. ${\displaystyle \ \forall x\in M\ :\ f(x)=0}$ ,
2. ${\displaystyle \ f(z)=1}$
3. ומתקיים ש ${\displaystyle \ \|f\|=(\|z\|)^{-1}}$

הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של ${\displaystyle \,f_{0}}$ החסומות על ידי ${\displaystyle \,\rho }$ לתת-מרחב כלשהו ${\displaystyle \ L_{0}\subset L_{\alpha }\subset L}$ עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-${\displaystyle \,E}$). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-${\displaystyle \,E}$ שמהווה הרחבה של ${\displaystyle \,f_{0}}$ המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל ${\displaystyle \,L}$.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-${\displaystyle \,E}$ מוגדרת על תת-מרחב ${\displaystyle \ L'\subset L}$, כאשר ${\displaystyle \ L'\neq L}$. אזי קיים ${\displaystyle \ y\in L-L'}$ ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי ${\displaystyle \ \rho }$, המוגדרת על ידי:

${\displaystyle \ \forall z\in {\mbox{span}}\left(L'\cup \{y\}\right)\ :\ f(z)=f(x+\lambda y)=f'(x)+\lambda y'}$

כאשר ${\displaystyle \ z=x+\lambda y}$ פירוק יחיד של ${\displaystyle \,z}$ כאשר ${\displaystyle \ x\in L'}$ ו-${\displaystyle \,f'}$ הוא ההרחבה המקסימלית על ${\displaystyle \,L'}$ (והם איברי המשפחה ${\displaystyle \,E}$). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך ${\displaystyle \ f'(y)=y'}$ כך שלכל ${\displaystyle \,z}$ בתחום ההגדרה יתקיים ${\displaystyle \ f'(x)+\lambda y'=f(z)\leq \rho (z)}$. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים ${\displaystyle \,y'}$ כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-${\displaystyle \,f'}$ מ-${\displaystyle \,L'}$ לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-${\displaystyle \,E}$.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של ${\displaystyle \,E}$, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-${\displaystyle \,E}$, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של ${\displaystyle \,E}$ מוגדר היטב על כל ${\displaystyle \,L}$ ומהווה הרחבה של ${\displaystyle \,f_{0}}$ המקיימת את הנדרש. ${\displaystyle \blacksquare }$

ראו גם

• אנליזה פונקציונלית
• פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית

קישורים חיצוניים

• משפט האן-בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• משפט האן-בנך, באתר MathWorld (באנגלית)