משפט ההרחבה של טיצה

בטופולוגיה, משפט ההרחבה של טיצה הוא משפט בסיסי לגבי מרחבים נורמליים. קיימים מספר ניסוחים שקולים למשפט הזה, והם מציינים באופן כללי שבמרחב נורמלי ניתן להרחיב פונקציה שרציפה על קבוצה סגורה לפונקציה רציפה על כל המרחב. המשפט למעשה מספק תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב טופולוגי יהיה נורמלי.

נשים לב שבאופן כללי רציפות על תת מרחב של מרחב טופולוגי כלשהו שונה מאוד מרציפות על המרחב כולו. לדוגמה, פונקציית דיריכלה לא רציפה באף נקודה על הישר הממשי, אך אם נסתכל עליה כפונקציה מתת המרחב של המספרים הרציונליים היא תהיה פונקציה קבועה ובפרט רציפה, למרות שכפונקציה מכל המרחב היא לא הייתה רציפה אפילו במספרים הרציונליים.

משפט זה מהווה הכללה ללמה של אוריסון כיוון שהלמה של אוריסון מראה שניתן להרחיב פונקציה שקבועה בכל אחת משתי קבוצות סגורות זרות, ובפרט רציפה, לפונקציה רציפה על כל המרחב.

ניסוח פורמלי

מרחב טופולוגי ${\displaystyle \ X}$ הוא מרחב נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה ${\displaystyle \ A\subseteq X}$ אם ${\displaystyle \ f:A\to [0,1]}$ רציפה, אז קיימת הרחבה רציפה שלה למרחב כולו ${\displaystyle \ F:X\to [0,1]}$ כלומר, כזו עבורה לכל ${\displaystyle x\in A}$ מתקיים ${\displaystyle \ F(x)=f(x)}$. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח את המשפט כך: בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים, הקטע ${\displaystyle \,[0,1]}$ הוא אובייקט אינג'קטיבי.

הוכחה

כדי להוכיח את המשפט, נוכיח קודם כל את הלמה:

למה: יהיו ${\displaystyle X}$ מרחב נורמלי, ${\displaystyle K}$ תת-קבוצה סגורה שלו ו-${\displaystyle f:K\rightarrow \left[-M,M\right]}$ (עבור ${\displaystyle M>0}$) רציפה. אז קיימת פונקציה רציפה ${\displaystyle g:X\rightarrow \left[-{\frac {M}{3}},{\frac {M}{3}}\right]}$ המקיימת ${\displaystyle \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}}$ לכל ${\displaystyle x\in K}$.

הוכחת הלמה: נסמן ${\displaystyle A=f^{-1}\left(\left[-M,-{\frac {M}{3}}\right]\right),B=f^{-1}\left(\left[{\frac {M}{3}},M\right]\right)}$. לפי הרציפות של ${\displaystyle f}$, הקבוצות ${\displaystyle A,B}$ סגורות ב-${\displaystyle K}$. אבל ${\displaystyle K}$ סגורה ב-${\displaystyle X}$לכן ${\displaystyle A,B}$ סגורות ב-${\displaystyle X}$. הן זרות זו לזו לכן לפי הלמה של אוריסון בשינויים המתבקשים, קיימת פונקציה רציפה ${\displaystyle g:X\rightarrow \left[-{\frac {M}{3}},{\frac {M}{3}}\right]}$ כך ש-${\displaystyle g(A)=\left\{-{\frac {M}{3}}\right\},g(B)=\left\{{\frac {M}{3}}\right\}}$.

לכל ${\displaystyle x\in K}$, נפצל לשלושה מקרים:

1) אם ${\displaystyle x\in A}$ אז ${\displaystyle -M\leq f(x)\leq -{\frac {M}{3}}}$ וגם ${\displaystyle g(x)=-{\frac {M}{3}}}$ לכן ${\displaystyle \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}}$

2) אם ${\displaystyle x\in B}$ אז ${\displaystyle {\frac {M}{3}}\leq f(x)\leq M}$ וגם ${\displaystyle g(x)={\frac {M}{3}}}$ לכן ${\displaystyle \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}}$

3) אם ${\displaystyle x\notin A\cup B}$ אז ${\displaystyle \left\vert f(x)\right\vert <{\frac {M}{3}}}$ וגם${\displaystyle \left\vert g(x)\right\vert \leq {\frac {M}{3}}}$ לכן ${\displaystyle \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}}$

לכן ${\displaystyle g}$ מקיימת את הלמה.

כעת נוכל להוכיח את המשפט.

כיוון אחד: נניח ש-${\displaystyle X}$ מרחב טופולוגי כך שלכל ${\displaystyle K\subseteq X}$ סגורה ולכל פונקציה רציפה ${\displaystyle f:K\rightarrow \left[0,1\right]}$ יש הרחבה רציפה למרחב. יהיו ${\displaystyle A,B}$ קבוצות סגורות זרות ב-${\displaystyle X}$. נגדיר ${\displaystyle f:A\cup B\rightarrow \left[0,1\right]}$ כך ש-${\displaystyle f(x)=0}$ לכל ${\displaystyle x\in A}$ ו-${\displaystyle f(x)=1}$ לכל ${\displaystyle x\in B}$. מכך ש-${\displaystyle A,B}$ סגורות וזרות נובע ש-${\displaystyle f}$ רציפה כפונקציה מתת-המרחב ${\displaystyle A\cup B}$. לפי ההנחה, ניתן להרחיב את ${\displaystyle f}$ לפונקציה רציפה מ-${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle \left[0,1\right]}$. אז קיימת פונקציה רציפה ${\displaystyle \ F:X\to [0,1]}$כך ש-${\displaystyle F(x)=0}$ לכל ${\displaystyle x\in A}$ ו-${\displaystyle F(x)=1}$ לכל ${\displaystyle x\in B}$. נסמן${\displaystyle U=F^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right)\right),V=F^{-1}\left(\left({\frac {1}{2}},1\right]\right)}$. אז ${\displaystyle U,V}$ קבוצות פתוחות (לפי רציפות ${\displaystyle F}$) וזרות המקיימות ${\displaystyle A\subseteq U,B\subseteq V}$. מכאן הנורמליות של ${\displaystyle X}$.

כיוון שני: נוכיח גרסה שקולה של המשפט שבה הטווח של ${\displaystyle f}$ הוא ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$. יהיו ${\displaystyle X}$ מרחב נורמלי, ${\displaystyle K}$ תת-קבוצה סגורה שלו ו-${\displaystyle f:K\rightarrow \left[-1,1\right]}$ רציפה. עתה נשתמש בלמה שהוכחנו לעיל כדי לבנות באינדוקציה סדרת פונקציות רציפות ${\displaystyle g_{n}:X\rightarrow \left[-{\frac {2^{n-1}}{3^{n}}},{\frac {2^{n-1}}{3^{n}}}\right]}$ כך שייתקיים ${\displaystyle \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n}}{3^{n}}}}$ לכל ${\displaystyle x\in K}$:

עבור ${\displaystyle n=0}$ נגדיר ${\displaystyle g_{0}(x)\equiv 0}$.

כעת נניח ש-${\displaystyle g_{0},...,g_{n}}$ פונקציות המקיימות ${\displaystyle \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n}}{3^{n}}}}$ לכל ${\displaystyle x\in K}$. נשתמש בלמה שהוכחנו עבור הפונקציה ${\displaystyle f-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}}}$ ונקבל פונקציה ${\displaystyle g_{n+1}:X\rightarrow \left[-{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}},{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}\right]}$ כך ש-${\displaystyle \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n+1}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n+1}}{3^{n+1}}}}$ לכל ${\displaystyle x\in K}$.

לכל ${\displaystyle x\in X}$ ולכל ${\displaystyle n\geq 0}$ שלם מתקיים ${\displaystyle \left\vert g_{n}(x)\right\vert \leq {\frac {2^{n-1}}{3^{n}}}}$ ולכן טור הפונקציות ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}}$ מתכנס לפונקציה רציפה ב-${\displaystyle X}$. נסמן את הפונקציה הזו ב-${\displaystyle F}$. לפי האי-שוויון ${\displaystyle \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n}}{3^{n}}}}$, הפונקציה ${\displaystyle F}$ היא הרחבה של ${\displaystyle f}$, וההוכחה הושלמה.

קישורים חיצוניים

• משפט ההרחבה של טיצה, באתר MathWorld (באנגלית)