משפט המושבעים של קונדורסה

משפט המושבעים של קונדורסה (באנגלית: Condorcet's jury theorem), עוסק בהסתברות לקבלת החלטה נכונה על ידי קבוצת אנשים. המשפט הוצע על ידי המרקיז דה קונדורסה.

המשפט

המרקיז דה קונדורסה טען כי הצבעה על פי רוב פשוט תביא להסתברות הגבוהה ביותר להגיע להחלטה הנכונה, תחת ההנחות הבאות:

1. ההחלטה היא דיכוטומית, כלומר קיימות שתי אלטרנטיבות הצבעה בלבד (לדוגמה ${\displaystyle 1}$ או ${\displaystyle -1}$).
2. צוות המורכב מקבוצה של ${\displaystyle n}$ אנשים בעלי מטרה משותפת.
3. סיכויי כל אחד מהפרטים להגיע להחלטה הנכונה גדולים מ־${\displaystyle 0.5}$, כלומר ${\displaystyle 0.5<p_{i}<1}$ (נאמר שכישורי הפרט ${\displaystyle i}$ הם ${\displaystyle p_{i}}$).
4. אי תלות בקבלת ההחלטות - החלטת פרט אחד אינה משפיעה על החלטת הפרט האחר.

נגדיר וקטור כישורים ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ וגם וקטור החלטות של הפרטים ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...x_{n})}$.

בהתבסס על ההנחות שהוזכרו לעיל ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה על פי רוב גבוהה יותר מההסתברות להגיע להחלטה הנכונה על ידי פרט בודד. אם כך, כאשר מספר האנשים בצוות שואף לאינסוף, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה שואפת ל-${\displaystyle 1}$.

הערה: המשפט מעניק בסיס תאורטי מסוים לקיום דמוקרטיה, בה החלטות נקבעות על ידי רוב. יחד עם זאת, נכונות המשפט מסתמכת על ארבע הנחות בסיסיות שאינן בהכרח מתקיימות במציאות.

דוגמה לנכונות המשפט

נניח 3 פרטים עם כישורים זהים. אם ההחלטה מתקבלת לפי פרט אחד, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה היא ${\displaystyle p}$.

אם ההחלטה מתקבלת לפי רוב פשוט אז ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה היא ${\displaystyle p^{3}+3(1-p)p^{2}}$, כאשר ${\displaystyle p^{3}}$ מציג את המצב ששלושתם צודקים ו - ${\displaystyle 3(1-p)p^{2}}$ מציג את המצב שאחד טועה ושניים צודקים.

בגלל ש${\displaystyle p<p^{3}+3(1-p)^{2}}$ לכל ${\displaystyle 0.5<p}$, כלל החלטה של רוב פשוט עדיף על פני החלטה של פרט אחד.

חריגות בהנחות המשפט

במאמר משנת 1982^[1], בחנו החוקרים שמואל ניצן ויעקב פרוש מצב בו ההנחה כי כל הפרטים זהים בכישוריהם אינה מתקיימת. פרוש וניצן טענו כי במצב זה משפט ההחלטה האופטימלי הוא כלל רוב משוקלל שבו כל אחד מהפרטים מקבל משקל שונה בהתאם לכישורים שלו והמשקולות נקבעות לפי ${\displaystyle W_{i}=\ln {\Bigl (}{\frac {p_{i}}{1-p_{i}}}{\Bigr )}}$ וההחלטה מתקבלת לפי ${\displaystyle F=\mathrm {sign} (\sum _{n=1}^{n}{w_{i}}{x_{i}})}$ כאשר ${\displaystyle \mathrm {sign} }$ זו פונקציית הסימן. מספר האופציות לווקטורי החלטה שונים עומד על ${\displaystyle (2)^{n}}$ ומספר אופציות לפונקציית ההחלטה האפשריות הוא ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$.

ככל שמספר הפריטים גדול יותר, כך מספר וקטורי החלטה ומספר האפשרויות לפונקציית החלטה גבוהים יותר. כללי ההחלטה האופטימליים (שאיתם מגיעים להסתברות הגבוהה ביותר להחלטה נכונה) יכולים להיקבע לפי החלטת הפרט בעל הכישורים הגבוהים ביותר בלבד (מומחה), מומחה וסגן, מומחה ושני סגנים, רוב פשוט וכו'.

בדוגמה הנ"ל ניתן לראות את ההחלטה המתקבלת בשלושה פרטים לפי כלל רוב פשוט ולפי החלטת פרט אחד.

החלטה של פרט 1	החלטה של פרט 2	החלטה של פרט 3	כלל החלטה לפי פרט 1	כלל החלטה רוב פשוט
1	1	1	1	1
1	1	1-	1	1
1	1-	1	1	1
1	1-	1-	1	1-
1-	1	1	1-	1
1-	1	1-	1-	1-
1-	1-	1	1-	1-
1-	1-	1-	1-	1-

לכן, במצב של שלושה פרטים, יש שמונה אופציות לוקטורי החלטה שונים (${\displaystyle 2^{3}}$) ו-256 אופציות לפונקציות החלטה שונות (${\displaystyle 2^{2^{3}}}$).

לצורך המחשה נתייחס לדוגמה הבאה:

מצב בו יש שלושה פרטים השונים בכישוריהם ${\displaystyle p_{1}>p_{2}>p_{3}>0.5}$ ומטרתם זהה. קיימים שני כללי החלטה אפשריים - לפי המומחה בלבד או לפי רוב פשוט. על מנת להכריע מהו הכלל האופטימלי ניעזר במשוואה הבאה:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}<{\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\cdot {\frac {p_{3}}{1-p_{3}}}}$

אם הביטוי הנ"ל מתקיים, כלל ההחלטה האופטימלי הוא רוב פשוט. כלומר, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה גבוהה יותר לפי רוב פשוט על פני מומחה בלבד. בנוסף, ניתן להגיע לכלל האופטימלי בעזרת כלל רוב משוקלל.

נניח כישורים שונים לכל פרט.

${\displaystyle p_{1}=0.9,\ p_{2}=0.8,\ p_{3}=0.6}$

משקולות הפרטים:

${\displaystyle W_{1}=\ln {\Bigl (}{\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}{\Bigr )}=\ln {\Bigl (}{\frac {0.9}{0.1}}{\Bigr )}=2.19}$

${\displaystyle W_{2}=\ln {\Bigl (}{\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}{\Bigr )}=\ln {\Bigl (}{\frac {0.8}{0.2}}{\Bigr )}=1.38}$

${\displaystyle W_{3}=\ln {\Bigl (}{\frac {p_{3}}{1-p_{3}}}{\Bigr )}=\ln {\Bigl (}{\frac {0.6}{0.4}}{\Bigr )}=0.4}$

נקבל פונקציית החלטה:

${\displaystyle F=\mathrm {sign} (2.19x_{1}+1.38x_{2}+0.4x_{3})}$

אם שני הפרטים עם הכישורים הנמוכים יותר מחליטים ההפך מהחלטת הפרט ה"מומחה", נניח ${\displaystyle x_{1}=+1,x_{2}=-1,x_{3}=-1}$ נקבל שהפונקציה חיובית, כלומר כלל מומחה עדיף על פני כלל רוב פשוט. לא משנה מה יחליטו שני הפרטים הפחות כישרוניים, ההחלטה תתקבל לפי הפרט הראשון בלבד.

הערה: ניתן לראות כי המשקל של פרט שכישוריו קטנים מ${\displaystyle 0.5}$, יהיה שלילי (כי ${\displaystyle 1-p_{i}>p_{i}}$). כלומר עדיף לעשות הפוך ממה שהוא אומר, זה מסביר למה משפט קונדורסה נכון רק בהנחה שכישורי כל הפרטים גדולים מ${\displaystyle 0.5}$.

ראו גם

• תבחין קונדורסה
• פרדוקס ההצבעה

לקריאה נוספת

• ברג ס. ופרוש י' (1998), קבלת החלטות קוקטיבית בהיררכיות.
• דן אריאלי, לא רציונלי ולא במקרה, הוצאת מטר, 2008.

קישורים חיצוניים

• דן אריאלי, כיצד ניתן להשפיע על קבלת ההחלטות של אנשים בהווה למען מטרות עתידיות רחוקות? – הרצאה מאתר "12 דקות"
• דן אריאלי ומריאנו סיגמן, איך מקבלים החלטה נכונה בקבוצה-באנגלית
• דן אריאלי, קבלת החלטות – הרצאה באנגלית עם כתוביות בעברית"
• משפט המושבעים של קונדורסה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Shmuel Nitzan, Jacob Paroush, Optimal Decision Rules in Uncertain Dichotomous Choice Situations, International Economic Review 23, 1982, עמ' 289–297 doi: 10.2307/2526438