משפט סלוצקי

בתורת ההסתברות, משפט סלוצקי מרחיב כמה מהתכונות של פעולות אלגבריות על סדרות מתכנסות של מספרים ממשיים על סדרות של משתנים מקריים.^[1]

המשפט נקרא על שם יבגני (אויגן) סלוצקי.^[2] המשפט מיוחס גם להרלד קרמר.^[3]

נוסח המשפט

יהו {X_n}, {Y_n} סדרות של משתנים מקריים סקלריים/וקטוריים/מטריציים.

אם X_n מתכנס בהתפלגות למשתנה מקרי ${\displaystyle (X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X)}$;

ו-Y_n מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ cX;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$, כל עוד c הפיך.

כאשר ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$ מציין התכנסות בהתפלגות.

הערות

1. הדרישה כי הסדרה Y_n מתכנסת לקבוע היא חשובה — אילו היא הייתה מתכנסת למשתנה מקרי שאיננו מנוון, המשפט לא היה תקף.
2. המשפט נשאר תקף אם נחליף את כל התכנסויות בהתפלגות עם התכנסויות בהסתברות (בשל מאפיין זה).

הוכחה

אם X_n מתכנס בהתפלגות ל-X ו-Y_n מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז הווקטור (X_n, Y_n) מתכנס בהתפלגות אל (X, c) (ראו כאן).

נגדיר לכל אחת ממסקנות המשפט פונקציה:

• ${\displaystyle g\left(x,y\right)=x+y}$,
• ${\displaystyle g\left(x,y\right)=x\cdot y}$,
• ${\displaystyle g\left(x,y\right)=x\cdot y^{-1}}$,

בהתאמה. כל אחת מהפונקציות האלו רציפה (במקרה האחרון, הפונקציה רציפה רק אם y הפיך), והמסקנות נובעות עכשיו ממשפט ההעתקה הרציפה.

ראו גם

• התכנסות (הסתברות)

לקריאה נוספת

• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes (שלישית ed.). Oxford.

הערות שוליים

1. Goldberger, Arthur S. (1964). Econometric Theory. New York: Wiley. pp. 117–120.
2. Slutsky, E. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte". Metron (בגרמנית). 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03.
3. Remark 11.1 (page 249) of Gut, Allan (2005). Probability: a graduate course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.