משפטי התכנסות מרטינגלים

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות, משפטי התכנסות מרטינגלים של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים.

נוסח פורמלי

יהי ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ מרחב הסתברות, ותהי ${\displaystyle \left\{F_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

יהי ${\displaystyle \left\{N_{t}\right\}_{t\geq 0}}$, כאשר ${\displaystyle N_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }$, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל ${\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty }$ מתקיים ${\displaystyle N_{s}\geq \mathbf {E} \left[N_{t}\mid F_{s}\right]}$.

משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון

לכל ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$, נגדיר ${\displaystyle N_{t}^{-}:=\max \left(-N_{t},0\right)}$.

אם מתקיים כי ${\displaystyle \sup _{t\geq 0}\mathbf {E} \left[N_{t}^{-}\right]<\infty }$, אז בהסתברות 1 קיים הגבול ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }N_{t}}$ במובן של התכנסות נקודתית.

משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני

הדברים הבאים שקולים:

• ${\displaystyle \left\{N_{t}\right\}_{t>0}}$ אינטגרבילית במידה שווה.
• קיים משתנה מקרי ${\displaystyle N}$ בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים ${\displaystyle N_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}N}$ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים

יהי ${\displaystyle \left\{M_{t}\right\}_{t\geq 0}}$, כאשר ${\displaystyle M_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }$, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל ${\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty }$ מתקיים ${\displaystyle M_{s}=\mathbf {E} \left[M_{t}\mid F_{s}\right]}$.

אם קיים ${\displaystyle 1<p<\infty }$ שעבורו ${\displaystyle \sup _{t>0}\mathbf {E} \left[\left|M_{t}\right|^{p}\right]<\infty }$, אזי קיים משתנה מקרי ${\displaystyle M}$ עם ${\displaystyle \int _{\Omega }\left|M\right|^{p}d\mu <\infty }$, כך שמתקיים ${\displaystyle M_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}M}$ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הערה: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.

משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי

יהי ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ מרחב הסתברות, ויהי ${\displaystyle X}$ משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.

תהי ${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. נגדיר ${\displaystyle F_{\infty }=\sigma \left(F_{1},F_{2},...\right)}$.

אזי מתקיים ${\displaystyle \mathbf {E} \left[X\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[X\mid F_{\infty }\right]}$ גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע.

הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם ${\displaystyle E\in F_{\infty }}$ מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, ${\displaystyle \mathbb {P} \left(E\mid F_{n}\right)=\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{\infty }\right]=1_{E}}$.

תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.

למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים ${\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=1_{E}}$ בהסתברות 1, ובמילים אחרות ${\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)\in \left\{0,1\right\}}$.