משתנים מקריים חילופיים

בהסתברות ובסטטיסטיקה, סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}}$, מתקיים כי ההתפלגות המשותפת שלה שמורה תחת כל תמורה. לדוגמה, כאשר ${\displaystyle i=3}$ צריך להתקיים: $${\displaystyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{3},x_{1},x_{2})}$$, כאשר ${\textstyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}}$ היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת של ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ ומוגדרת באמצעות,$${\displaystyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=\Pr(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},X_{3}\leq x_{3})}$$

הגדרה

סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}}$, ולכל תמורה ${\displaystyle \sigma }$ על המספרים הטבעיים ${\displaystyle 1,\ldots ,i}$ מתקיים ${\textstyle F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{1},\ldots ,x_{i})=F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (i)})}$.

סדרה ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$ של מאורעות חילופיים היא סדרה של מאורעות אשר סדרת המשתנים המציינים המתאימים חילופיים.

אולב קלנברג סיפק הגדרה של חילופיות לתהליכים סטוכסטיים בזמן רציף. ^[1]

היסטוריה

המושג החילופיות הוצג על ידי ויליאם ארנסט ג'ונסון בספרו מ-1924 Logic, Part III: The Logical Foundations of Science .^[2] החילופיות שקולה למושג הבקרה הסטטיסטית שהציג וולטר שוארט גם כן ב-1924.^[3][4]

חילופיות ומשתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות.

תכונת החילופיות קשורה קשר הדוק לשימוש במשתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות (Independent and Identically Distributed - iid). סדרה של משתנים מקריים שהם בלתי-תלויים ושווי-התפלגות, הם דוגמה פשוטה יחסית למשתנים חילופיים.

תערובת של סדרות משתנים מקריים חילופיים (ובפרט, סדרות של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות) נותנת סידרה של משתנים חילופיים. ההפך הוא גם נכון עבור סדרות משתנים חילופיים אינסופיות.^[5] (המשפט המקורי של דה פינטי הראה שזה נכון עבור משתנים מקריים מציינים. מאוחר יותר הורחב כך שיקיף את כל הסדרות של משתנים מקריים.)

דוגמאות

• נניח שכד מכיל ${\displaystyle n}$ כדורים אדומים ו ${\displaystyle m}$ כדורים כחולים. ונניח שמוציאים באקראי מהכד, ללא החזרה, כדור אחרי כדור, עד שהכד ריק. נסמן ב-${\displaystyle X_{i}}$ את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה-${\displaystyle i}$ שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה ${\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n+m}}$ היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים.
• נניח שכד מכיל ${\displaystyle n}$ כדורים אדומים ו ${\displaystyle m}$ כדורים כחולים. בכל פעם מוציאים באקראי כדור, ומחזירים אותו ועוד כדור באותו צבע לכד. נסמן ב-${\displaystyle X_{i}}$ את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה-${\displaystyle i}$ שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה ${\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$ היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים. מודל זה נקרא כד פוליה.
• למשתנים המקריים ${\displaystyle (X,Y)}$ יש התפלגות נורמלית דו משתנית עם פרמטרים ${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=1}$ ומקדם מתאם שרירותי ${\displaystyle \rho \in (-1,1)}$ . המשתנים המקריים ${\displaystyle X}$ ו ${\displaystyle Y}$ חילופיים, אבל הם בלתי תלויים רק אם ${\displaystyle \rho =0}$ . פונקציית הצפיפות היא ${\displaystyle f_{XY}(x,y)=f_{XY}(y,x)=\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)}}$

הערות שוליים

1. Diaconis, Persi (2009). "Book review: Probabilistic symmetries and invariance principles (Olav Kallenberg, Springer, New York, 2005)". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 46 (4): 691–696. doi:10.1090/S0273-0979-09-01262-2.
2. Zabell, S. L. (1992). "Predicting the unpredictable". Synthese. 90 (2): 205. doi:10.1007/bf00485351. S2CID 9416747.
3. Barlow, R. E. & Irony, T. Z. (1992) "Foundations of statistical quality control" in Ghosh, M. & Pathak, P.K. (eds.) Current Issues in Statistical Inference: Essays in Honor of D. Basu, Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 99-112.
4. Bergman, B. (2009) "Conceptualistic Pragmatism: A framework for Bayesian analysis?", IIE Transactions, 41, 86–93
5. In short, the order of the sequence of random variables does not affect its joint probability distribution.