נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון (באנגלית: Whittaker–Shannon interpolation formula) או אינטרפולציית sinc היא שיטה לבניית פונקציה בזמן רציף בעלת רוחב פס סופי מסדרה של מספרים ממשיים. הנוסחה מתוארכת לעבודותיהם של בורל ב-1898, ושל א.ט. ויטאקר (E. T. Whittaker) ב-1915, והיא צוטטה מעבודותיו של ג'.מ. ויטאקר (J. M. Whittaker) ב-1935, ובניסוח משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון של קלוד שאנון ב-1949.

נוסחה זאת נקראת גם נוסחת האינטרפולציה של שאנון ונוסחת האינטרפולציה של ויטאקר. א.ט. ויטאקר, שפרסם אותה ב-1915, כינה אותה סדרת הקרדינלים (Cardinal series).

הגדרה

באיור משמאל, העקומה האפורה מייצגת את ${\displaystyle f(t)}$, פונקציה בתחום הזמן שנדגמה בקצבים הולכים וגדלים (נקודות שחורות) ונבנתה מחדש (עקומה זהובה). באיור מימין, העקומה האדומה מראה את ספקטרום התדרים של ${\displaystyle f(t)}$, שאינו משתנה. התדר הגבוה ביותר בספקטרום הוא מחצית מרוחבו הכולל. ההצללה הוורודה בגרף הימני מייצגת את ספקטרום התדרים של הפונקציה המשוחזרת, שמתרחב עם העלייה בקצב הדגימה. כשהספקטרום המשוחזר מכסה את כל הספקטרום המקורי, רוחב הספקטרום המשוחזר כפול מהתדר הגבוה ביותר הנמצא בו, והפונקציה המשוחזרת תואמת באופן מושלם לדגימה המקורית.

בהינתן סדרה של מספרים ממשיים, ${\displaystyle x[n]}$, אזי לפונקציה הרציפה

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT_{s}}{T_{s}}}\right)\,}$

יש התמרת פורייה, ${\displaystyle X(f)}$, שמכילה תדרים בתחום ${\displaystyle |f|\leq 1/(2T_{s})}$ בלבד. כאשר ${\displaystyle T_{s}}$ נמדד בשניות ורוחב הפס, ${\displaystyle 1/(2T_{s})}$, נמדד במחזורים לשנייה (הרץ).

הסדרה ${\displaystyle x[n]}$ מייצגת דגימות בזמן בכל ${\displaystyle T_{s}}$ שניות של פונקציה רציפה, כלומר ${\displaystyle x[n]=x(nT_{s})}$; התדר ${\displaystyle f_{s}=1/T_{s}}$ נקרא קצב הדגימה ו־${\displaystyle f_{s}/2}$ הוא תדר נייקוויסט המתאים. כאשר לפונקציה שנדגמה יש רוחב פס סופי ${\displaystyle B}$ הנמוך מתדר נייקוויסט, ${\displaystyle x(t)}$ היא שחזור מושלם של הפונקציה המקורית (ראו משפט דגימה). אחרת, רכיבי התדר שמעל תדר נייקוויסט עוברים "קיפול" (Aliasing) לאזור תת-תדר נייקוויסט של ${\displaystyle X(f)}$, הגורם עיוות.

ניסוח שקול – קונבולוציה או מסנן מעביר נמוכים

נוסחת האינטרפולציה נגזרת במאמר משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון, המציין שניתן לבטא אותה גם כקונבולוציה של רכבת הלמים עם פונקציית sinc:

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T_{s}\cdot \underbrace {x(nT_{s})} _{x[n]}\cdot \delta \left(t-nT_{s}\right)\right)*\left({\frac {1}{T_{s}}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T_{s}}}\right)\right)}$

הגדרה זו שוות ערך לסינון רכבת ההלמים במסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם הגבר של 1 (או 0 dB). אם קצב הדגימה גבוה מספיק, האות המקורי מועבר ללא שינוי דרך המסנן ושאר השכפולים שלו מסוננים על ידי המסנן.

התכנסות

נוסחת האינטרפולציה תמיד מתכנסת בהחלט ובמידה שווה באופן מקומי כל עוד מתקיים:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty }$

לפי אי-שוויון הלדר תנאי זה מתקיים אם הסדרה ${\displaystyle (x[n])_{n\in \mathbb {Z} }}$ שייכת לכל אחד מהמרחבים ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$ כאשר${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, כלומר:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty }$

תנאי זה מספיק, אך אינו הכרחי. לדוגמה, הסכום בדרך כלל יתכנס אם סדרת הדגימות מגיעה מדגימה של כמעט כל תהליך סטציונרי, ובמקרה זה סדרת הדגימות אינה ניתנת לסיכום ריבועי, ואינה נמצאת בשום מרחב ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$.

תהליכים אקראיים סטציונריים

אם ${\displaystyle x[n]}$ היא סדרה אינסופית של דגימות של פונקציית דגימה של תהליך אקראי סטציונרי במובן הרחב (WSS), אז היא אינה שייכת לאף מרחב ${\displaystyle \ell ^{p}}$, עם הסתברות 1; כלומר, לסכום האינסופי של דגימות המועלות בחזקה ${\displaystyle p}$ אין תוחלת סופית. עם זאת, נוסחת האינטרפולציה מתכנסת עם הסתברות 1. ניתן להראות התכנסות זו בקלות על ידי חישוב השונות של איברים קטומים של הסכום, ושניתן להפוך את השונות לקטנה באופן שרירותי על ידי בחירת מספר מספיק של איברים. אם ממוצע התהליך אינו אפס, יש להתייחס לצמדי איברים כדי להראות גם שהתוחלת של האיברים הקטומים מתכנסת לאפס.

מכיוון שלתהליך אקראי אין התמרת פורייה, תנאי ההתכנסות שונים. לתהליך אקראי סטציונרי יש פונקציית מתאם עצמי (אוטוקורלציה) ומכאן צפיפות ספקטרית (Spectral density) לפי משפט וינר-חינצ'ין (אנ'). תנאי מתאים להתכנסות הסכום לפונקציית דגימה מתוך התהליך הוא שהצפיפות הספקטרית של התהליך תהיה אפס בכל התדרים השווים למחצית קצב הדגימה או גדולים ממנו.

ראו גם

• אות (תקשורת)
• דגימה (עיבוד אותות)
• תורת הדגימה (עיבוד אותות)
• פונקציית המלבן
• sinc