סימון סלאש של פיינמן

כאשר ריצ'רד פיינמן חקר את משואת דיראק הוא המציא את סימון סלאש של פיינמן הנוח והקצר יותר לרישום גדלים המערבים מטריצות גאמה של דיראק.

אם A הוא 4-וקטור קו-וריאנטי, אזי הסלאש שלו מוגדר להיות

${\displaystyle A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }}$

כאשר משתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין ו-γ הן מטריצות גאמה של דיראק.

זהויות

על ידי שימוש בתכונות האנטי-קומוטטור של מטריצות הגאמה של דיראק ניתן להראות שעבור זוג 4-וקטורים קו-וריאנטים כליים ${\displaystyle a_{\mu }}$ ו-${\displaystyle b_{\mu }}$, מתקיים

${\displaystyle a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}}$

${\displaystyle a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b}$.

בפרט

${\displaystyle \partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}}$

ניתן להסיק זהויות נוספות המערבות את סימון הסלאש מתכונות מטריצות גאמה של דיראק על ידי החלפת הטנזור המטרי במכפלה פנימית, לדוגמה:

${\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/}$.

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,}$

כאשר

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }\,}$ הוא טנזור לוי-צ'יויטה.

עם 4-תנע

לעיתים קרובת, כאשר משתמשים במשוואת דיראק ופותרים כדי לחשב חתכי פעולה, ניתן למצוא את סימון הסלאש על וקטור 4-תנע:

בהצגת דיראק

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

ומהגדרת ה-4-תנע

${\displaystyle p^{\mu }=\left(E,p^{x},p^{y},p^{z}\right)\,}$

רואים במפורש

${\displaystyle p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,}$	${\displaystyle =\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\,}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}\cdot p_{i}&0\end{bmatrix}}\,}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}E&\mathbf {\sigma \cdot p} \\-\mathbf {\sigma \cdot p} &-E\end{bmatrix}}\,}$

הביטוי p עם סימון סלאש של פיינמן מופיע בפרופוגטור פיינמן של פרמיון:

${\displaystyle \ S_{f}={\frac {i}{p\!\!\!/-m}}={\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}}$

ראו גם

• מטריצות גאמה של דיראק
• משוואת דיראק

לקריאה נוספת

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.