ערך תצפית (תורת הקוונטים)

במכניקת הקוונטים, ערך תצפית הוא גודל מתמטי המקושר לתוחלת הערך של אופרטור הרמיטי המתקבל על-ידי מדידה. כלומר, בהינתן מצב קוונטי נתון, ובהינתן מדידה המקושרת לאופרטור הרמיטי כלשהו, ערך התצפית הוא הערך אליו ישאף ממוצע של מספר גדול של מדידות (על פי חוק המספרים הגדולים).^[1]

לערך התצפית חשיבות רבה בניסוח תופעות קוונטיות מורכבות, ביניהן עקרון אי הודאות של הייזנברג ומשוואות תנועה של חלקיקים כדוגמת משפט ארנפסט.

מבוא

במכניקת הקוונטים, המצבים הקוונטים האפשריים למערכת כלשהי מהווים מרחב הילברט, ומקובל לסמן אותם באמצעות סימון דיראק: כל מצב קוונטי מיוצג על ידי וקטור, המסומן ב-${\displaystyle |\psi \rangle }$.

לכל שני מצבים קוונטיים ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle }$ מסומנת המכפלה הסקלארית שלהם בתור ${\displaystyle \langle \psi _{2}|\psi _{1}\rangle }$.

על מרחב הילברט זה ניתן להגדיר אופרטורים שונים. כאשר נתון אופרטור הרמיטי כלשהו, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ניתן לעיתים לקשר אותו לגודל מדיד בטבע. דוגמאות לכך הן אופרטור המיקום, אופרטור התנע ואופרטור התנע הזוויתי. תכונת ההרמיטיות של האופרטור קובעת כי לכל זוג מצבים קוונטים ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle }$ מתקיים:

${\displaystyle \langle \psi _{2}|{\hat {A}}\psi _{1}\rangle =\langle {\hat {A}}\psi _{2}|\psi _{1}\rangle }$

כלומר, בהינתן מכפלה סקלרית של שני מצבים קוונטים, ניתן להפעיל את האופרטור מימין או משמאל והתוצאה תישאר זהה. מסיבה זו נהוג לסמן את המכפלה לעיל בתור ${\displaystyle \langle \psi _{2}|{\hat {A}}|\psi _{1}\rangle }$.

ניתן להראות כי לכל מצב קוונטי ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ולכל אופרטור הרמיטי ${\displaystyle {\hat {A}}}$ מתקיים ש-${\displaystyle \langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle }$ הוא ממשי. גודל זה הוא הוא ערך התצפית של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ במצב קוונטי ${\displaystyle |\psi \rangle }$. באופן מעשי, ערך התצפית מציין את הערך אליו ישאף ממוצע המדידות של אופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}}$ בהינתן מצב קוונטי ${\displaystyle |\psi \rangle }$. את ערך התצפית מסמנים לרוב בסימון:

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }:=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle }$

חישוב ערך תצפית

חישוב במרחב המיקום

בהינתן מצב קוונטי כלשהו המתואר כפונקציית גל חד-ממדית ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ במרחב המיקום, כלומר כזו שמקשרת כל קואורדינטת מיקום ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ לצפיפות ההסתברות ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ שהחלקיק ימצא בנקודה ${\displaystyle x}$, ובהינתן אופרטור הרמיטי ${\displaystyle {\hat {A}}}$, ניתן לחשב את ערך התצפית של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ באופן הבא:

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\psi ^{*}(x){\hat {A}}\psi (x)dx}}$^[2]

כאשר ${\displaystyle {\hat {A}}\psi }$ מציין את הפעלת האופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}}$ על ${\displaystyle \psi }$.

במקרה התלת-ממדי פונקציית הגל היא מהצורה ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ וערך התצפית מחושב על-ידי:

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\psi ^{*}({\vec {r}}){\hat {A}}\psi ({\vec {r}})d^{3}r}}$

כאשר ערך התצפית מחושב על-ידי אינטגרל של פונקציית הגל במרחב המיקום, יש לוודא כי פונקציית הגל מנורמלת. כלומר, שהאינטגרל של הפונקציה ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ על כל המרחב הוא 1. במצב זה המצב הקוונטי מפורש לפי פרשנות בורן למכניקת הקוונטים הגורסת כי הערך המוחלט של פונקציית הגל בריבוע היא פונקציית צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק הנתון בנקודה כלשהי במרחב.

עם זאת, ייתכן ויתקיים ערך תצפית גם במקרה שבו פונקציית הגל אינה מנורמלת. כך למשל עבור פונקציית הגל של חלקיק חופשי ${\displaystyle \psi :x\to e^{\frac {ip_{1}x}{\hbar }}}$ קיים ערך תצפית עבור אופרטור התנע והוא ${\displaystyle \langle p\rangle _{\psi }=p_{1}}$, זאת על אף שהפונקציית אינה מנורמלת.

חישוב באמצעות מצבים עצמיים

אם לאופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}}$ מצבים עצמיים אורתונורמליים ${\displaystyle |n\rangle }$ וערכים עצמיים ${\displaystyle a_{n}}$ בהתאמה, והמערכת נמצאת במצב ${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle }$ אז ניתן להראות כי ערך התצפית של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ יהיה:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\sum _{n}|c_{n}|^{2}a_{n}}$^[3]

כלומר, בהינתן פירוק של מצב קוונטי כללי ${\displaystyle |\psi \rangle }$ למצבים עצמיים של ${\displaystyle {\hat {A}}}$, ניתן לחשב את הערך העצמי בעזרת המקדמים של המצבים העצמיים בפירוק והערכים העצמיים של ${\displaystyle {\hat {A}}}$.

יתרה מזאת, עבור כל מצב עצמי ${\displaystyle |n\rangle }$ מתקבל כי ערך התצפית של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ עבור מערכת במצב זה הוא ${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =a_{n}}$, כלומר ערך התצפית הוא הערך העצמי של ${\displaystyle |n\rangle }$.

חישוב במרחב כללי

בהינתן פונקציית גל המתוארת במרחב כללי כלשהו ${\displaystyle V}$ כדוגמת מרחב התנע או מרחב האנרגיה, כלומר פונקציית גל מהצורה ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {C} }$, ניתן לחשב את ערך התצפית באמצעות אינטגרל לבג על מרחב זה. כלומר:

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\int _{V}{\psi ^{*}({\vec {x}}){\hat {A}}\psi ({\vec {x}})dm}}$

כאשר ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$ הן קואורדינטות במרחב ו-${\displaystyle m}$ היא פונקציית מידה על המרחב.

ניתן להראות שבהינתן ייצוגים שקולים של מצב קוונטי בשני מרחבים שונים, ערך התצפית יישאר זהה. כך למשל, בהינתן פונקציית גל ${\displaystyle \psi }$ המתוארת במרחב המיקום, ניתן להמירה לפונקציה ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ במרחב התנע על-ידי התמרת פורייה וערך התצפית יישאר זהה.

אריתמטיקה

עבור מצב קוונטי ${\displaystyle |\psi \rangle }$ כלשהו, ערך התצפית מקיים את כללי האריתמטיקה הבאים:

• לכל קבוע ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ מתקיים ${\displaystyle \langle c\rangle _{\psi }=c}$
• לכל קבוע ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ואופרטור הרמיטי ${\displaystyle {\hat {A}}}$ מתקיים ${\displaystyle \langle cA\rangle _{\psi }=c\langle A\rangle _{\psi }}$
• לכל שני אופרטורים הרמיטיים ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ו-${\displaystyle {\hat {B}}}$ מתקיים: ${\displaystyle \langle A+B\rangle _{\psi }=\langle A\rangle _{\psi }+\langle B\rangle _{\psi }}$

עם זאת, עבור שני אופרטורים הרמיטיים ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ו-${\displaystyle {\hat {B}}}$ באופן כללי ${\displaystyle \langle AB\rangle _{\psi }\neq \langle A\rangle _{\psi }\langle B\rangle _{\psi }}$.

אי-ודאות

בהינתן מצב קוונטי ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ואופרטור הרמיטי ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ניתן להראות כי מתקיים:

${\displaystyle \langle A^{2}\rangle \geq \langle A\rangle ^{2}}$

כלומר, שערך התצפית של האופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}^{2}}$ (הפעלת האופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}}$ פעמיים) חיובי וגדול מערך התצפית של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ בריבוע. עובדה זו מאפשרת להגדיר את סטיית התקן של ערך התצפית:

${\displaystyle \Delta A={\sqrt {\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}}$

גודל זה מציין את אי הודאות במדידת הגודל הקשור לאופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}}$.

לאי-הודאות של ערך התצפית חשיבות מכרעת בהבנת תופעות פיזיקליות רבות, כשהמרכזית שבהן היא עקרון אי הודאות של הייזנברג, אשר גורס בגרסתו הכללית ביותר כי לכל שני אופרטורים הרמיטיים ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ו-${\displaystyle {\hat {B}}}$ מתקיים אי-השוויון:

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq {\frac {1}{2}}|\langle [A,B]\rangle |}$^[4]

כאשר ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]}$ הוא הקומוטטור של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ו-${\displaystyle {\hat {B}}}$.

הערות שוליים

1. Leon van Dom­me­len, Expectation Value and Standard Deviation, Florida State University, ‏2018-08-26
2. Jim Branson, Expectation Values, University of California San Diego, ‏2013-04-22
3. J.D. Cresser, Probability, Expectation Value and Uncertainty, Macquarie University, ‏2009
4. Jim Branson, Uncertainty Principle for Non-Commuting Operators, University of California San Diego, ‏2013-04-22