פונקציה חלקה

באנליזה מתמטית, פונקציה חלקה היא פונקציה שגזירה אינסוף פעמים, כלומר לכל $n$ טבעי הנגזרת ה- $n$ -ית קיימת.

קבוצת כל הפונקציות החלקות מסומנת $C^{\infty }$ . הסימון הזה הוא חלק מסימון כללי יותר:

את קבוצת כל הפונקציות הרציפות מסמנים $C^{0}$ או רק $C$ (לפעמים עם ציון התחום שבו הפונקציות רציפות, למשל $C([a,b])$ ).
לכל n טבעי מסמנים ב $C^{n}$ את קבוצת כל הפונקציות שגזירות n פעמים ושהנגזרת ה- $n$ -ית של כל אחת מהן היא פונקציה רציפה.

הקבוצה $C^{\infty }$ מוגדרת להיות החיתוך של כל הקבוצות $C^{n}$ ; כלומר $f\in C^{\infty }$ אם ורק אם לכל $n\in \mathbb {N}$ $f\in C^{n}$ .

תכונות בסיסיות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם $f$ פונקציה חלקה אז גם הנגזרת של $f$ חלקה. יתר על כן, קל לראות ש- $C^{\infty }$ היא הקבוצה המקסימלית שבה פעולת הגזירה היא באמת אופרטור (כלומר לכל $f\in C^{\infty }$ קיימת נגזרת, ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ , והיא בתוך $C^{\infty }$ ).
אם $f,g$ פונקציות חלקות אז גם הסכום, המכפלה וההרכבה שלהן חלקות.
כל פונקציה אנליטית היא פונקציה חלקה (ובפרט כל הפונקציות האלמנטריות הן חלקות בכל תחום הגדרתן) אבל לא להפך.

לרב השימושים באנליזה מספיקות פונקציות גזירות פעמיים או שלוש אבל נוהגים להשתמש בפונקציות חלקות כדי לפשט את הניסוח של ההגדרות והמשפטים.

הפונקציות החלקות הן מאוד "גמישות". לדוגמה ניתן לבנות פונקציה חלקה ששווה ל- $1$ על קבוצה סגורה $A$ , ומתאפסת מחוץ לסביבה פתוחה של $A$ , כאשר גם את $A$ וגם את הסביבה הפתוחה אפשר לבחור כרצוננו. דבר כזה הוא בלתי אפשרי בפונקציות אנליטיות כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע סגור כלשהו אז היא זהותית אפס. בדומה, ניתן לבנות חלוקות יחידה חלקות, אך לא ניתן לבנות חלוקות יחידה אנליטיות. על ידי פונקציות כאלו ניתן לבנות לכל פונקציה רציפה פונקציה חלקה שקרובה אליה כרצוננו.

ראו גם

[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה אנליטית

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה חלקה, באתר MathWorld (באנגלית)

מרחבי פונקציות והכללותיהן

היפר-פונקציות

C^{-\infty }

פונקציות מוכללות מתונות

C_{c}^{-\infty }

L_{loc}^{1,-s}

L^{1,-s}

L_{c}^{1,-s}

L_{loc}^{p,-s}

L^{p,-s}

L_{c}^{p,-s}

מידות^[1]

מידות^[1] נתמכות קומפקטית

L_{loc}^{1}

L^{1}

L_{c}^{1}

L_{loc}^{p}

L_{}^{p}

L_{c}^{p}

L_{loc}^{1,s}

L^{1,s}

L_{c}^{1,s}

L_{loc}^{p,s}

L^{p,s}

L_{c}^{p,s}

L_{loc}^{2,s}

L_{loc}^{2}

L_{loc}^{2,-s}

L^{2,s}

L^{2,-s}

L^{2}

L_{c}^{2,s}

L_{c}^{1}

L_{c}^{1,-s}

C_{c}^{-s}

C^{-s}

L_{c}^{\infty ,-s}

L^{\infty ,-s}

L_{loc}^{\infty ,-s}

L_{c}^{q,-s}

L^{q,-s}

L_{loc}^{q,-s}

C_{c}

C

L_{c}^{\infty }

L_{}^{\infty }

L_{loc}^{\infty }

L_{c}^{q}

L_{}^{q}

L_{loc}^{q}

C_{c}^{s}

C^{s}

L_{c}^{\infty ,s}

L^{\infty ,s}

L_{loc}^{\infty ,s}

L_{c}^{q,s}

L^{q,s}

s>0

L_{loc}^{q,s}

C_{c}^{\infty }

פונקציות שוורץ

פונקציות מתונות

C^{\infty }

פונקציות נאש

פונקציות אנליטיות ממשיות

מקרא

	מרחב פונקציות על אובייקט גאומטרי (למשל מרחב אוקלידי).^[2]
	מרחב הנתון על ידי תכונה מקומית של פונקציה.^[3]

	מרחב הילברט
	מרחב בנך (שאינו מרחב הילברט)
	מרחב פרשה (שאינו מרחב בנך)
	מרחב דואלי לפרשה (שאינו מרחב בנך)
	מרחב גרעיני

שיכון טבעי. מרחב המקור הוא תת-מרחב של מרחב היעד.^[4] כל החצים השחורים מהווים יחד דיאגרמה קומוטטיבית.

דואליות דו צדדית. שני המרחבים דואליים זה לזה.

דואליות. מרחב היעד דואלי למרחב המקור. בכל המיקרים הדואליות נתונה על ידי אינטגרציה ובהתאם קומפטבילית עם השיכונים.

התמרת פוריה דו צדדית. ההתמרה מעבירה את כל אחד מהמרחבים לשני.^[5]

התמרת פוריה. ההתמרה מעבירה את מרחב המקור למרחב היעד.^[5]

$C$	מרחב הפונקציות הרציפות. מוגדר עבור כל מרחב טופולוגי.
$C^{t}$	מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות $t$ פעמים.^[6] מוגדר עבור יריעות חלקות.
$L^{r}$	מרחב L^r. פונקציות שחזקתם ה - $r$ אינטגרבילית. האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב מידה.
$L^{r,t}$	מרחב סובולב. פונקציות שנגזרתם ה - $t$ נמצאת במרחב L^r.^[6] האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב אוקלידי או אובייקט דומה.
${\mathfrak {X}}_{c}$	פונקציות נתמכות קומפקטית. עבור מרחב פונקציות ${\mathfrak {X}}$ הסימון ${\mathfrak {X}}_{c}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות ב - ${\mathfrak {X}}$ שהתומך שלהם קומפקטי.^[7]
${\mathfrak {X}}_{loc}$	תכונה מקומית. עבור מרחב פונקציות ${\mathfrak {X}}$ הסימון ${\mathfrak {X}}_{c}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות שבאופן מקומי מקיימות את התכונה המגדירה של ${\mathfrak {X}}$ .^[7]

$s$	מספר ממשי חיובי
$p,q$	מספרים ממשיים המקיימים: $1<p<2<q<\infty$ ו - ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=2$

פונקציות אנליטיות רב ערכיות

^ ¹ ² על מנת לראות במרחב המדות במידות כמרחב פונצקציות יש לבחור מידה על האובייקט הגאומטרי.
^ ובאופן כללי יותר האובייקט הגיאמטרי יכול להיות: מרחב טופולוגי, יריעה חלקה, יריעה אנליטית (ממשית או מרוכבת), יריעה אלגברית, מרחב אוקלידי, מרחב l, מרחב מידה ועוד. חלק מהמרחבים מוגדרים רק עבור חלק מהאובייקטים הגאומטריים. רוב המרחבים דורשים לפחות מבנה של יריעה חלקה על האובייקט הגאומטרי.
^ המקומיות היא על פי הטופולוגיה על האובייקט הגאומטרי המתאים. לדוגמה, פונקציות שוורץ מוגדרות על יריעות אלגבריות ממשיות (או באופן כללי יותר יריעות נאש), לכן המקומיות היא על פי הטופולוגיה של זריצקי (או הטופולוגה המוגבלת על יריעות נאש).
^ השיכון מוגדר רק כאשר שני המרחבים מוגדרים. לדוגמה מרחב הפולינומים מוגדר עבור יריעה אלגברית ומרחב הפונקציות החלקות מוגדר עבור יריעה חלקה. מרחב הפולינומים מהווה תת-מרחב במרחב הפונקציות החלקות אם עבור יריעה אלגברית ממשית חלקה.
^ ¹ ² רלוונטי רק כאשר האובייקט הגאומטרי הוא חבורה אבלית (בדרך כלל כאשר הוא מרחב אוקלידי)
^ ¹ ² ניתן להגדיר מרחב זה עבור $t$ ממשי כלשהו, אולם אם $t$ אינו מספר טבעי אז ההגדרה מורכבת מעט יותר.
^ ¹ ² המרחבים ${\mathfrak {X}}_{loc}$ ו - ${\mathfrak {X}}_{c}$ יכולים להית מוגדרים גם על אובייקטים שעליהם ${\mathfrak {X}}$ לא מוגדר. די בכך שהאובייקטים יראו באופן מקומי כמו אלה שעליהם ${\mathfrak {X}}$ מוגדר. לדוגמה $L_{c}^{r,t}$ מוגדר עבור כל יריעה חלקה.