פונקציית L של ארטין

בתורת המספרים פונקציית L של ארטין היא פונקציית L שמספקת מידע על ההתהגות של איבר פרובניוס המתאים לראשוניים שונים בהרחבת שדות מספרים נתונה. פונקציית L של ארטין מכלילה את פונקציית L של דיריכלה. כמו שפונקציית L של דירכלה מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בסדרה חשבונית, פונקציית L של ארטין מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בעלי תכונות אריתמטיות מורכבות יותר. לפי השערת לנגלנדס, כל פונקציית L של ארטין שווה לפונקציית L של תבנית אוטומורפית מתאימה.

את הפונקציה הגדיר אמיל ארטין בשנת 1923 על מנת לפרק את פונקציית זטא של דדקינד למכפלה של פונקציות בצורה שתכליל פירוקים קודמים של דדקינד וובר.^[1]

הקשר טרמינולגיה וסימונים

בהינתן הרחבת גלואה של שדות מספרים ${\displaystyle L/K}$ והצגה (מרוכבת) ${\displaystyle \rho }$ של חבורת גלואה ${\displaystyle Gal(L/K)}$, פונקציית L של ארטין היא פונקציה מרומורפית על ${\displaystyle \mathbb {C} }$. את ערכה של פונקציית L של ארטין בנקודה ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ מסמנם ב: $${\displaystyle L(\rho ,s).}$$ כרגיל בפונקציות L, הגדרות שונות של הפונקציה מגדירת פונקציה אנליטית רק בחלק מהמישור המרוכב, כך שגם לצימצום של פונקציית L של ארטין לתחומים אלו קוראים לעיתים פונקציית L של ארטין ומסמנים אותה באותו האופן.

לפונקציית L של ארטין יש גם גרסה עבור הצגה של חבורת גלואה של הרחבה של שדות מקומיים. גרסה זו נקראת פונקציית L המקומית של ארטין. כשרוצים להדגיש שמדברים על פונקציית L של ארטין הלא מקומית מכנים אותה פונקציית L הגלובלית של ארטין. הסימונים במקרה המקומי מקבילים לסימונים במקרה הגלובלי. פונקציית L המקומית של ארטין פשוטה בהרבה מזאת הגלובלית. במקרה של שדות מקומיים לא ארכימדיים היא מהווה פונקציה רציונלית ב - ${\displaystyle p^{s}}$ כאשר ${\displaystyle p}$ הוא מציין השארית של השדות המקומיים הרלוונטיים.

פונקציית L הגלובלית של ארטין היא מכפלה אינסופית של פונקצייות L מקומיות של ארטין המתאימות להרחבות שדות מקומיים לא ארכימדיים המתקבלים מההרחבה ${\displaystyle L/K}$. מסיבות טכניות לעיתים יותר נוח להגדיר את פונקציות L המקומיות של ארטין רק עבור חלק מהמקרים. אם מחליפים את המכפלה המלאה במכפלה חלקית מקבלים את פונקציית L החלקית של ארטין. למושג זה אין הגדרה מוסכמת אחת הוא טכני ותלוי הקשר.

ניתן להרחיב את המכפלה המגדירה את פונקציית L של ארטין כך שהיא תכיל גם פונקצייות L מקומיות המתאומות לשדות ארכימדיים. הפונקציה המתקבלת בצורה כזאת נקראת פונקציית L המורחבת של ארטין (או פונקציית ${\displaystyle \Lambda }$ של ארטין) ומסומנת לעיתים ב - ${\displaystyle \Lambda }$ במקום ב - ${\displaystyle L}$. היחס בין פונקציות L המורחבת של ארטין ופונקציות L של ארטין נקרא לעיתים כופל גמא. זאת משום שניתן להביע אותו באמצעות ביטוי פשוט יחסית שמערב את פונקציית גמא.

כרגיל בפונקציות L, המכפלה שמגדירה את הפונקציה, הטור שמתקבל מפתיחת הסוגריים בה, הפונקציה עצמה וההמשכות האנליטיות שלה לקבוצות שונות במישור כולן נקראות באותו השם.

רקע

מקומות בשדה מספרים

בהינתן שדה מספרים ${\displaystyle K}$, מקום סופי של ${\displaystyle K}$ הוא אידיאל ראשוני של החוג ${\displaystyle O_{K}}$ של השלמים ב - ${\displaystyle K}$.^[2] אם ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ אז המקומות של ${\displaystyle K}$ הם פשוט מספרים ראשוניים.

מקומות סופיים של ${\displaystyle K}$ הם מקרה פרטי של מקומות של ${\displaystyle K}$. המקומת של ${\displaystyle K}$ כוללים מלבד המקומות הסופיים של ${\displaystyle K}$ גם את המקומות האינסופיים של ${\displaystyle K}$.^[3] ניתן להגדיר את המקומות הארכימדיים בתור שיכונים של ${\displaystyle K}$ ל - ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

נסמן את אוסף המקומות הסופיים של שדה ${\displaystyle K}$ ב - ${\displaystyle \Pi _{K}}$.

מקומות לא מסועפים

נקבע הרחבה סופית של שדות מספרים ${\displaystyle L/K}$. בהינתן מקום סופי ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset O_{K}}$ ניתן לפרק את האידיאל ${\displaystyle {\mathcal {P}}O_{L}\subset O_{K}}$ לאידיאלים ראשוניים: $${\displaystyle {\mathcal {P}}O_{L}={\mathcal {Q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathcal {Q}}_{n}^{e_{n}}}$$ אומרים שמקומות ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{i}}$ נמצאים מעל המקום ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. אומרים ש - ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{i}}$ אינו מסועף ביחס להרחבה ${\displaystyle L/K}$ אם ${\displaystyle e_{i}=1}$. אומרים ש - ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ אינו מסועף ביחס להרחבה ${\displaystyle L/K}$ כל המקומות של ${\displaystyle L}$ הנמצאים מעליו אינם מסועפים.

ניתן להראות שכמעט כל המקומות (הסופיים) של ${\displaystyle K}$ (זאת אומרת כולם פרט למספר סופי) הם לא מסועפים ביחס להרחבה הנתונה ${\displaystyle L/K}$. נסמן את אוסף המקומות הסופיים של שדה ${\displaystyle K}$ שאינם מסועפים ביחס ל - ${\displaystyle L/K}$ ב - ${\displaystyle \Pi _{K}^{L-un}}$.

איבר פרובניוס

ערך מורחב – איבר פרובניוס

עבור הרחבת גלואה סופית של שדות מספרים ${\displaystyle L/K}$ ועבור מקום סופי ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\subset O_{L}}$ שאינו מסועף ביחס להרחבה זאת פרובניוס הגדיר איבר ${\displaystyle Fr_{\mathcal {Q}}}$ בחבורת גלואה ${\displaystyle Gal(L/K)}$. איבר זה נקרא איבר פרובניוס. ניתן להראורת שאם ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ הם שני מקומות הנמצאים מעל אותו מקום סופי של ${\displaystyle K}$ אז איברי פרובניוס ${\displaystyle Fr_{{\mathcal {Q}}_{1}}}$ ו - ${\displaystyle Fr_{{\mathcal {Q}}_{2}}}$ צמודים בחבורת גלואה ${\displaystyle Gal(L/K)}$. בהתאם, עבור ראשוני ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset O_{K}}$ שאינו מסועף ביחס להרחבה ${\displaystyle L/K}$, מגדירים את איבר פרובניוס ${\displaystyle Fr_{\mathcal {P}}\in Gal(L/K)}$ להיות איבר פרובניוס של אחד הראשוניים של ${\displaystyle L}$ הנמצאים מעל ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. איבר זה אינו מוגדר היטב כאיבר בחבורה אך מוגדר עד כדי הצמדה. במילים אחרות מחלקת הצמידות שלו מוגדרת היטב. ניתן להרחיב הגדרה זו גם למקומות סופיים מסועפים, אולם במקרה זה איבר פרובניוס יהיה איבר בחבורת גלואה שונה במקצת.

הגדרה

נקבע הרחבת גלואה של שדות מספרים ${\displaystyle L/K}$ והצגה (מרוכבת) ${\displaystyle \rho }$ של חבורת גלואה ${\displaystyle Gal(L/K)}$.

פונקציית L המקומית של ארטין

יהי ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset O_{K}}$ מקום סופי של ${\displaystyle K}$ שאינו מסועף ביחס להרחבה ${\displaystyle L/K}$. נגדיר $${\displaystyle L_{\mathcal {P}}(\rho ,s):={\frac {1}{\det \left((1-|O_{K}/{\mathcal {P}}|^{-s}\rho (Fr_{\mathcal {P}})\right)}}}$$ פונקציה זו (כפונקציה מ - ${\displaystyle s}$) נקראת פונקציית L המקומית של ארטין. זוהי פונקציה רצינלית ב - ${\displaystyle p^{s}}$ ובפרט פונקציה מרומורפית ב - ${\displaystyle s}$. ניתן להרחיב הגדרה זו גם עבור מקומות סופיים מסועפים. ההגדרה מסובכת מעט יותר אך עדיין נותנת פונקציות רציונליות ב - ${\displaystyle p^{s}}$. ניתן גם להרחיב הגדה זו גם עבור מקומות אינסופיים. אולם במקרה זה לא יהיה ניתן להביע את הפונקציה שתתקבל באמצעות פונקציה רציונלית, ותתקבל פונקציה מרומורפית מסובכת יותר הניתנת להבעה באמצעות פונקציית גמא.

הערה: אם בוחרים מקום סופי ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ הנמצא מעל ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ אז ניתן להגדיר הרחבת שדות מקומיים ${\displaystyle L_{\mathcal {Q}}/K_{\mathcal {P}}}$ כאשר ${\displaystyle L_{\mathcal {Q}}}$ ו - ${\displaystyle K_{\mathcal {P}}}$ הם ההשלמות של ${\displaystyle L}$ ו - ${\displaystyle K}$ על פי הערכים המוחלטים המוגדרים באמצעות המקומות המתאימים. מכאן מקבלים שיכון של חבורות גלואה ${\displaystyle Gal(L_{\mathcal {Q}}/K_{\mathcal {P}})\subset Gal(L/K)}$. קל לראות שפונקציית L המקומית של ארטין תלויה רק בשדות ${\displaystyle L_{\mathcal {Q}}}$ ו - ${\displaystyle K_{\mathcal {P}}}$ ובצימצום ${\displaystyle \rho |_{Gal(L_{\mathcal {Q}}/K_{\mathcal {P}})}}$. למעשה ניתן להגדיר אותה עבור כל הצגה ${\displaystyle \tau }$ של ${\displaystyle Gal(E/F)}$ כאשר ${\displaystyle E/F}$ היא הרחבת גלואה של שדות מקומיים. במקרה כזה מסמנים את ערכה של פונקציית L המקומית של ארטין ב - ${\displaystyle L(\tau ,s)}$.

פונקציית L הגלובלית של ארטין

פונקציית L של ארטין מוגדרת באופן הבא: $${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathcal {P}}\in \Pi _{K}^{}}L_{\mathcal {P}}(\rho ,s).}$$ קל לראות שמכפלה זו מתכנסת עבור ${\displaystyle s}$ בעל חלק ממשי גדול מספיק, ובהתאם מגדירה פונקציה אנליטית בחצי מישור ימני.

פונקציית L החלקית של ארטין

בהינתן קבוצה סופית של מקומות סופיים ${\displaystyle S\subset \Pi _{K}}$ ניתן להגדיר את פונקציית L החלקית של ארטין על ידי $${\displaystyle L^{S}(\rho ,s)=\prod _{{\mathcal {P}}\in \Pi _{K}\smallsetminus S}L_{\mathcal {P}}(\rho ,s).}$$ בדרך כלל בוחרים את ${\displaystyle S}$ כך שתכיל את כל ההמקומות המסועפים. בכך אפשר להימנע מהעיסוק בראשוניים המסועפים בהם ההגדרה של פונקציות L המקומייות מסובכת יותר. בחירות שונות של ${\displaystyle S}$ ישנו את הפונקציה, אבל, למטרות רבות, שינוי זה לא יהיה משמעותי. יחס בין שתי פונקציות L חלקיות הוא פונקציה מרומורפית עם תיאור פשוט יחסית. הנתוח של פונקציית L החלקית פשוט יותר מזאת של המלאה (בהנחה שבוחרים את ${\displaystyle S}$ באופן מתאים), עם זאת הוא מספק מידע רב על פונקציית L המלאה, כך שדי בו כדי להוכיח תכונות רבות של פונקציית L של ארטין. לאומת זאת, עבור תכונות עדיונת יותר, כמו השערת ארטין ומשוואה פונקציאלית (ראו להלן) לא די בפונקציית L החלקית.

פונקציית L המורחבת של ארטין

פונקציית L המורחבת של ארטין מוגדרת באופן דומה לפונקציית L של ארטין אלא שהמכפלה היא על כל המקומות של ${\displaystyle K}$. במילים אחרות פונקציית L המורחבת של ארטין היא המכפלה של פונקציית L של ארטין במכפלת פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים. המכפלה של פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים של ${\displaystyle K}$ נקראת לעיתים כופל גמה והגדרתה מבוססת על פונקציית גמא. כופל גמה פשוט בהרבה מפונקציית L של ארטין (בגלל שהמכפלה בהגדרתו היא סופית) אולם מסובך יותר מפונקציית L המקומית של ארטין.

תכונות

1. המשכה מרומורפית: לפונקציית L של ארטין יש המשכה מרומורפית לכל המישור.
2. השערת ארטין: על פי השערה זו, עבור הצגה לא טריוויאלית ${\displaystyle \rho }$, פונקציית L של ארטין היא אנליטית בכל המישור.
3. משוואה פונקציונלית: יש משוואה פונקציונלית הקושרת בין ערכי פונקציות L של ארטין בנקודות ${\displaystyle s}$ ו - ${\displaystyle 1-s}$ במונחים של פונקציית L המורחבת של ארטין ניתן להביע משוואה זו כך:$${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$$ כאשר ${\displaystyle \rho ^{*}}$ מסמנת את ההצגה הדואלית ו - ${\displaystyle W(\rho )}$ הוא מספר מרוכב עם ערך מוחלט 1.
4. כיפליות: בהינתן 2 הצגות של חבורת גלואה ${\displaystyle \rho _{1}}$ ו - ${\displaystyle \rho _{2}}$ מתקיים: $${\displaystyle L(\rho _{1}\oplus \rho _{2},s)=L(\rho _{1},s)L(\rho _{2},s)}$$
5. קשר בין הפונקציות לשדות שונים: בהינתן זוג הרחבות גלואה $${\displaystyle M/L/K}$$ ובהינתן הצגה ${\displaystyle \rho }$ של ${\displaystyle Gal(M/L)}$ מתקיים: $${\displaystyle L(\rho ,s)=L(Ind_{Gal(M/L)}^{Gal(M/K)}(\rho ),s)}$$ כאשר ${\displaystyle Ind_{Gal(M/L)}^{Gal(M/K)}}$ מסמן את פנקטור האינדוקציה מ - ${\displaystyle Gal(M/L)}$ ל - ${\displaystyle {Gal(M/K)}}$
6. קשר לפונקציית זטא של דדקינד: אם ${\displaystyle \rho }$ היא ההצגה הטריביאלית של ${\displaystyle Gal(L/K)}$ אז מתקיים $${\displaystyle L(\rho ,s)=\zeta _{K}(s)}$$ כאשר ${\displaystyle \zeta _{K}}$ היא פונקציית זטא של דדקינד
7. פרוק של פונקציית זטא של דדקינד לפונקציות L של ארטין: משלושת הטענות האחרונות (ומהפרוק של ההצגה הרגולרית של חבורת גלואה) קל להסיק את הטענה הבאה: $${\displaystyle \zeta _{L}(s)=\prod _{\rho \in irr(Gal(L/K))}L(\rho ,s)^{dim(\rho )}=\zeta _{K}(s)\prod _{\rho \in irr(Gal(L/K))\smallsetminus {1}}L(\rho ,s)^{dim(\rho )}}$$
8. אי התאפסות
   1. פונקציית L של ארטין לא מתאפסת בתחום ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\Re (s)\geq 1\}}$ (ההוכחה מקבילה להוכחת הטענה המקבילה עבור פונקציית זטא של רימן שמהווה חלק עיקרי בהוכחת משפט המספרים הראשוניים).
   2. בדומה לפונקציוית זטא של רימן ושל דדקינד, במרוצת השנים הוכחו משפטים על אי התאפסות של פונקציות L של ארטין.
   3. השערת רימן המוכללת ביחד עם השערת ארטין גוררות שפונקציות L של ארטין לא מתאפסת בחצי המישור: $${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\Re (s)>{\frac {1}{2}}\}.}$$ זוהי ההכללה האולטימטיבית של כל תוצאות אי-ההתאפסות האמורות.

הערות:

• משפט בראואר (יחד עם תכונות 4,5) מאפשר לעשות רדוקציה עבור תכונות 1,3 למקרה בו ${\displaystyle \rho }$ היא קרקטר כפלי. מקרה זה דומה למדי להוכחות של הטענות המקבילות עבור פונקציית זטא של רימן, פונקציית זטא של דדקינד, פונקציית L של דיריכלה, ופונקציית L של הקה.
• תכונות 4-7 תקפות גם עבור יתר הגרסאות של של פונקציית L של ארטין.

שימושים וקשרים לתחומים שונים

קשר להתפלגות איבר פרובניוס

כמו שאי-התאפסות של פונקציית זטא של רימן מספקת מידע על ההתפלגות של המספרים הראשוניים, ואי-התאפסות של פונקציית L של דיריכלה מספקת מידע על ההתפלגות של המספרים הראשוניים בסדרה חשבונית, כך גם אי-התאפסות של פונקציית L של ארטין מספקת מידע על ההתפלגות של איברי פרובניוס של מספרים ראשוניים שוניים ביחס להרחבת שדות נתונה. בפרט אפשר להסיק מתכונה 8.1 למעלה, את משפט הצפיפות של צ'בוטרב בגרסתו הנוגעת לצפיפות הטבעית.

מידע זה נותן מידע על התפלגות של ההתנהגות של פולינום עם מקדמים שלמים כאשר חוקרים אותו מודולו מספר ראשוני רץ, או באופן כללי יותר על התפלגות של ההתנהגות של סכמה כאשר חוקרים אותה מודולו מספר ראשוני רץ.

השערת לנגלנדס

ערך מורחב – השערת לנגלנדס

השערת לנגלנדס מקשרות בין הצגות (n-ממדיות) של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים ${\displaystyle K}$ לבין תבניות אוטומורפיות המתאימות לחבורה ${\displaystyle GL_{n}}$ מעל השדה ${\displaystyle K}$. הצגה של חבורת גלואה האבסולוטית של ${\displaystyle K}$ מתפקטרת דרך הצגה של חבורת גלואה של הרחבה נורמלית ${\displaystyle L/K}$. אחת הדרכים לאפיין את התאמת לנגלנדס היא הטענה שפונקציית L של ארטין המתאימה להצגה ${\displaystyle \rho }$ שווה לפונקציית L שמתאימה לתבנית האוטומורפית המתאימה ל - ${\displaystyle \rho }$ תחת התאמת לנגלנדס.

ראו גם

• פונקציית L של דיריכלה
• איבר פרובניוס
• משפט הצפיפות של צ'בוטרב
• השערת לנגלנדס

לקריאה נוספת

• ארטין, אמיל (1923). "Über eine neue Art von L Reihen". Hamb. Math. Abh. 3. Reprinted in his collected works, ISBN 0-387-90686-X. English translation in Artin L-Functions: A Historical Approach by N. Snyder.
• ארטין, אמיל (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (בגרמנית), 8: 292–306, doi:10.1007/BF02941010, JFM 56.0173.02, S2CID 120987633
• Tunnell, Jerrold (1981). "Artin's conjecture for representations of octahedral type". Bull. Amer. Math. Soc. N. S. 5 (2): 173–175. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14936-3.
• גלברט, סטיבן (1977). "Automorphic forms and Artin's conjecture". Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Lecture Notes in Math. Vol. 627. Berlin: Springer. pp. 241–276.
• לנגלנדס, רוברט (1967). "Letter to Prof. Weil".
• Langlands, Robert P. (1970). "Problems in the theory of automorphic forms". Lectures in modern analysis and applications, III. Lecture Notes in Math. Vol. 170. Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 18–61. doi:10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. MR 0302614.
• Martinet, J. (1977). "Character theory and Artin L-functions". In Fröhlich, A. (ed.). Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. pp. 1–87. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0359.12015.
• תבנית:Springer
• Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000). "A Report on Artin's Holomorphy Conjecture". In Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (eds.). Number Theory (PDF). Birkhäuser Basel. pp. 301–314. doi:10.1007/978-3-0348-7023-8_16. ISBN 978-3-0348-7023-8.

קישורים חיצוניים

• מאמר סקירה מאת ג'יימס קוגדל על הנושא.
• פונקציית L של ארטין, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. (ארטין 1923)
2. לעיתים המקומות הסופיים של ${\displaystyle K}$ נקראים ראשוניים של ${\displaystyle K}$ ולעיתים הם נקראים גם המקומות הלא-ארכימדיים של ${\displaystyle K}$
3. נרקאים לעיתים המקומות ההארכימדיים של ${\displaystyle K}$