פונקציית קדלג

במתמטיקה, פונקציית קדלג או càdlàg (ראשי תיבות מצרפתית: continue à droite limite à gauche) היא פונקציה המוגדרת על המספרים הממשיים (או תת-קבוצה שלהם) ובכל נקודה בתחום ההגדרה הפונקציה רציפה מימין ויש לה גבול משמאל. פונקציות קדלג חשובות במחקר של תהליכים סטוכסטיים שיש בהם קפיצות, בניגוד לתנועה בראונית, שיש לה נתיבים רציפים. אוסף פונקציות הקדלג עבור תחום נתון ידוע כמרחב סקורוקוד.

הגדרה

פונקציות התפלגות מצטברות הן דוגמאות לפונקציות càdlàg.

דוגמה לפונקציית התפלגות מצטברת עם קבוצה אינסופית בת מניה של נקודות אי-רציפות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

נתון מרחב מטרי ${\displaystyle (M,d)}$, ו-${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$. הפונקציה ${\displaystyle f:E\to M}$ נקראת פונקציית קדלג אם, לכל ${\displaystyle t\in E}$,

• הגבול השמאלי ${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$ קיים;
• הגבול הימני ${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$ קיים ושווה ל- ${\displaystyle f(t)}$.

כלומר, ${\displaystyle f}$ היא רציפה מימין עם גבול משמאל.

דוגמאות

• כל הפונקציות הרציפות על תת-קבוצה של המספרים הממשיים הן פונקציות קדלג על אותה תת-קבוצה.
• כתוצאה מהגדרתן, כל פונקציות ההתפלגות המצטברות הן פונקציות קדלג.
• הנגזרת מימין ${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$ של כל פונקציה קמורה ${\displaystyle f}$ המוגדרת על קטע פתוח, היא פונקציית קדלג מונוטונית עולה.

מרחב סקורוקוד

קבוצת כל הפונקציות הקדלג מ - ${\displaystyle E}$ ל - ${\displaystyle M}$ תסומן לעיתים קרובות על ידי ${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$ (או בפשטות ${\displaystyle \mathbb {D} }$) ונקרא מרחב סקורוקוד על שם המתמטיקאי האוקראיני אנטולי סקורוקוד. ניתן להתאים למרחב סקורוקוד את הטופולוגיה הבאה:^[1]

לשם הפשטות, נבחר ${\displaystyle E=[0,T]}$ ו ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ - ראו את בלינגסלי^[2] לבנייה כללית יותר.

נגדיר ${\displaystyle \Lambda }$ כקבוצת כל הפונקציות החד-חד-ערכיות ועל, רציפות ומונוטוניות ממש מ- ${\displaystyle E}$ לעצמה. נגדיר

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

כנורמה האחידה של פונקציות על ${\displaystyle E}$. נגדיר את מטריקת סקורוקוד ${\displaystyle \sigma }$ עַל ${\displaystyle \mathbb {D} }$ על ידי

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\}}$

כאשר ${\displaystyle I:E\to E}$ היא פונקציית הזהות.

ניתן להראות שמטריקת סקורוקוד הוא אכן מטריקה. הטופולוגיה ${\displaystyle \Sigma }$ הנוצרת באמצעות ${\displaystyle \sigma }$ נקראת הטופולוגיה של סקורוקוד על ${\displaystyle \mathbb {D} }$.

מטריקה שקולה,

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|)}$

הוגדרה באופן בלתי תלוי בתורת הבקרה לניתוח של מערכות מיתוג.^[3]

מאפייני מרחב סקורוקוד

הכללה של הטופולוגיה האחידה

המרחב ${\displaystyle C}$ של פונקציות רציפות על ${\displaystyle E}$ הוא תת-מרחב של ${\displaystyle \mathbb {D} }$. הטופולוגיה של סקורוקוד ביחס ל-${\displaystyle C}$ עולה בקנה אחד עם הטופולוגיה האחידה שם.

שלמות

ניתן להראות שלמרות ש - ${\displaystyle \mathbb {D} }$ אינו מרחב שלם ביחס למטריקת סקורוקוד ${\displaystyle \sigma }$, יש מטריקה שקולה מבחינה טופולוגית ${\displaystyle \sigma _{0}}$ שעבורה ${\displaystyle \mathbb {D} }$ הוא שלם.^[2]

ספרביליות

המרחב ${\displaystyle \mathbb {D} }$ הוא מרחב ספרבילי גם עבור ${\displaystyle \sigma }$ וגם עבור ${\displaystyle \sigma _{0}}$. לכן, מרחב סקורוקוד הוא מרחב פולני.

הדיקות

לכל ${\displaystyle F\subseteq E}$, נגדיר

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$.

ועבור ${\displaystyle \delta >0}$, נגדיר

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i}))}$.

שבו האינפימום עובר על כל החלוקות ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}$, עם ${\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }$. ההגדרה הזו מתאימה גם עבור ${\displaystyle f}$ שאינה קדלג וניתן להראות כי ${\displaystyle f}$ היא קדלג אם ורק אם ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$.

על ידי יישום של משפט ארצלה-אסקולי, אפשר להראות שסדרה ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}$ של מידות הסתברות במרחב סקורוקוד ${\displaystyle \mathbb {D} }$ היא הדוקה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0}$,

ו-

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0}$.

מבנה אלגברי וטופולוגי

תחת הטופולוגיה של סקורוקוד וסכום (נקודתי) של פונקציות, ${\displaystyle \mathbb {D} }$ איננה חבורה טופולוגית, כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה:

נתונים ${\displaystyle E=[0,2)}$ קטע חצי פתוח ו- ${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$ להיות סדרה של פונקציות מציינות. למרות העובדה ש-${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}$ בטופולוגיה של סקורוקוד, הסדרה ${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$ לא מתכנסת ל-0.

לקריאה נוספת

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.

קישורים חיצוניים

• פונקציית קדלג, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. "Skorokhod space - Encyclopedia of Mathematics".
2. Billingsley, P. Convergence of Probability Measures. New York: Wiley.
3. Georgiou, T.T. and Smith, M.C. (2000). "Robustness of a relaxation oscillator". International Journal of Robust and Nonlinear Control. 10 (11–12): 1005–1024. doi:10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q.