פונקציית קסי של רימן

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב.

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות ${\displaystyle \xi }$) היא וואריאנט של פונקציית זטא של רימן המקיימת משוואה פונקציונלית פשוטה. הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.

הגדרת הפונקציה

בעקבות אדמונד לנדאו, פונקציית קסי מוגדרת על ידי:

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}$

עבור ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, כאשר ${\displaystyle \Gamma }$ היא פונקציית גמא ו-${\displaystyle \zeta }$ היא פונקציית זטא של רימן. לפי הגדרה זו,

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)}$.

ההגדרה המקורית, שכיום מסומנת ב-${\displaystyle \Xi }$, היא:

${\displaystyle \Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)}$

ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)}$.

מאפייני הפונקציה

• ${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}$

כאשר ${\displaystyle B_{n}}$ מציין את מספר ברנולי ה-${\displaystyle n}$-י'. אפשר לראות כי ${\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}}$.

• ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}}$

כאשר

• ${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש-${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ לכל ${\displaystyle n}$ חיובי.

• ${\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {s}{\alpha }}\right)}$

כאשר ${\displaystyle \alpha }$ מוגדרת להיות השורשים של ${\displaystyle \xi }$.

קישורים חיצוניים

• פונקציית קסי של רימן, באתר MathWorld (באנגלית)