קאוסטיקה (אופטיקה)

קאוסטיקה הנוצרת על ידי כוס מים.

קאוסטיקת נפרואיד בתחתיתו של ספל תה.

קאוסטיקות הנוצרות בקרקעית מקווה מים כתוצאה משבירת האור במשטח המים הגלי.

באופטיקה, קאוסטיקה (באנגלית: Caustic) היא המעטפת הגאומטרית של אוסף קרני אור המוחזרות או נשברות על ידי משטח או עצם עקום. הקאוסטיקה היא העקומה או המשטח אשר כל אחת מקרני האור משיקה לו, ובכך מגדירה את השפה של מעטפת קרניים כעקומה של אור מרוכז; היות שכל נקודה על הקאוסטיקה מהווה קיצון מקומי של זוויות הפיזור של קרני האור, הקאוסטיקה מגדירה באופן טבעי אזור צר אליו מתרכזות קרני אור מתחום רחב של זוויות פגיעה במשטח המפזר. קאוסטיקות נוצרות בתרחישים נפוצים רבים, טבעיים ומלאכותיים כאחד: תופעת הקשת בענן היא הדוגמה הטבעית המוכרת ביותר לקאוסטיקה, כמו גם ריצודי האור על קרקעיתו של מקווה מים רדוד.

מבחינה היסטורית, אחד היישומים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שפותח במאה ה-17 היה לחישוב מפורש של צורתן של קאוסטיקות. טשירנהאוס, כריסטיאן הויגנס, גוטפריד וילהלם לייבניץ ואייזק ניוטון היו בין המדענים הראשונים שתרמו לחקר קאוסטיקות^[1]. כריסטיאן הויגנס מצא שהקאוסטיקה הנוצרת על ידי החזרה של קרני אור מקבילות מחצי מעגל (הציר האופטי של חצי המעגל מקביל לקרניים) היא עקום אפיציקלואידי^[2] הנקרא נפרואיד^[3], ופרסם את חישובו בחלק האחרון של חיבורו מ-1690 "התאוריה הגלית של האור" (Traite de la lumiere). הוא הראה גם כיצד הקאוסטיקה של משפחת קרני אור (ישרות) - מושג שהוא תולדה של אופטיקה גאומטרית - ניתנת להבנה באמצעות ההמשגה שפיתח לאופטיקה פיזיקלית, ובכך גילה את העיקרון הפיזיקלי המונח ביסוד התפתחויות מודרניות יותר בתחום. ביותר פירוט, הויגנס הראה שבכל נקודת זמן, הקאוסטיקה היא האוולוט של חזית הגל המוחזרת. כיוון שהאוולוט של עקומה סגורה וחלקה מכיל תמיד לפחות נקודת חוד^[4] (cusp singularity) אחת, הטענה של הויגנס מסבירה מדוע קאוסטיקות נוטות להופיע עם נקודות חוד. ממצאיו של הויגנס ואחרים היוו מקור השראה ללייבניץ לפתח תהליך מתמטי כללי למציאת מעטפות של משפחות עקומים (התקף לעקומים כלליים ולא רק לקווים ישרים), אותו פרסם במספר מאמרים בשנים 1692–1694.

המחקר המודרני על קאוסטיקות מתמקד בסיווגן וקטלוגן של קאוסטיקות מרחביות, ומשתייך לענף מתמטי המכונה תורת הקטסטרופות. באופן כללי, קשה מאוד להבין את האופן שבו תצורת קאוסטיקה ספציפית נוצרת ולזהות אלו תכונות גאומטריות של המראה המחזירה מגדירות את הגאומטריה של הקאוסטיקה שלה, כך שההבנה האיכותית של קאוסטיקות עדיין לוקה בחסר.

דוגמאות

נפרואיד (העקומה הסגולה המודגשת) הוא הקאוסטיקה של חצי מעגל. ההדגשה היתרה של הנפרואיד מייצגת את עוצמת האור עליו, ונובעת מריכוזן של קרניים בסביבת הקאוסטיקה.

• הקאוסטיקה המוכרת ביותר היא הקשת בענן. הקרנה של אור שמש על טיפות מים זעירות גורמת לאורכי גל שונים להתפזר על ידיהן בזוויות קאוסטיקות שונות, מה שמפיק אוסף של קשתות בצבעים וגבהים זוויתיים שונים.
• כאשר קרני אור מקבילות (שמגיעות ממקור אור מרוחק) פוגעות במראה חצי מעגלית (באופן כזה שהציר האופטי מקביל לכיוון הקרניים), הן מוחזרות ממנה לפי חוק ההחזרה, והמעטפת של כל הקרניים הללו היא צורת הנפרואיד המוצגת באיור מימין.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קאוסטיקה בוויקישיתוף

הערות שוליים

1. The Work of Tschirnhaus, La Hire and Leibniz on Catacaustics and the Birth of the Envelopes of Lines in the 17th Century
2. אפיציקלואיד הוא העקום המישורי שמתווה נקודה על נתונה על ההיקף של מעגל בעת שהוא מתגלגל ללא החלקה על ההיקף של מעגל נוסף.
3. נפרואיד הוא האפיציקלואיד המתקבל כאשר היחס בין רדיוס המעגל המתגלגל לרדיוס המעגל המקובע הוא 1:2.
4. נקודת החוד של האוולוט תואמת לנקודת קיצון מקומית של רדיוס העקמומיות של העקומה המקורית. מכיוון שכשמשלימים הקפה מלאה של עקומה סגורה וחלקה ערך העקמומיות משתנה ברציפות, והערך הסופי שלה שווה לערכה ההתחלתי, על פי משפט רול קיימת נקודת קיצון של העקמומיות עבור איזושהי נקודת ביניים.