קבוצה פורשת

קבוצה פורשת (או קבוצת יוצרים) היא קבוצת וקטורים שבאמצעותם ניתן להציג כצירוף ליניארי את כל ואך ורק וקטורים במרחב הנפרש.

קבוצת כל הצירופים הליניאריים של איברי קבוצת וקטורים נתונה ${\displaystyle A}$ מסומנת ב-${\displaystyle \operatorname {Sp} (A)}$^[1]. ניתן להראות שקבוצה זו תמיד מקיימת את אקסיומות המרחב הווקטורי, ולכן ניתן לדבר על "המרחב הנפרש על ידי הקבוצה ${\displaystyle A}$". בהתאם לכך, ${\displaystyle S}$ פורשת את ${\displaystyle V}$ אם ורק אם ${\displaystyle V=\operatorname {Sp} (S)}$.

קבוצה פורשת מינימלית, או קבוצה פורשת בלתי תלויה, מהווה בסיס למרחב הווקטורי. אם משמיטים מקבוצה כזו וקטור אחד (או יותר), היא כבר לא פורשת. אם קבוצה זו אינה מינימלית אז קיים בקבוצה וקטור שניתן להצגה כצירוף ליניארי של האחרים ולכן היא תלויה ליניארית.

הסבר אינטואיטיבי

נתבונן במערכת הצירים הקרטזית הדו-ממדית במישור. מערכת זו מתוארת על ידי שני הווקטורים (1,0) ו-(0,1) אשר פורשים את כל המישור: ניתן לייצג כל וקטור על המישור כצירוף ליניארי של שני וקטורי היחידה האלה. אף על פי שנוח להשתמש במערכת צירים זו, אין זו מערכת הצירים היחידה שפורשת את המישור - כל זוג וקטורים שאינם תלויים ליניארית יכולים לפרוס את המישור. אם הווקטורים תלויים ליניארית, הם "יושבים" על אותו ישר ולכן אינם יכולים לפרוס את המישור.

אפשר לתת משל ממכונית על שלט בעלת מקש שליטה אחד. לעולם לא יהיה אפשר להגיע איתה לכל מקום על מרחב הרצפה, כי השליטה בה היא רק האם להזיז את המכונית קדימה ואחורה. אך אם נוסיף למכונית כפתור שליטה נוסף שנע לצדדים, נקבל שליטה בשני וקטורי כיוון, שאינם תלויים ליניארית, ובעזרתם נוכל להגיע - אם נקיש את "הצירוף ליניארי" הרצוי - לכל מקום ברצפה.

כעת, דמיינו לעצמכם שכפתור השליטה השני אינו פונה ימינה ושמאלה אלא בזווית מסוימת. שינוי זה אולי יסרבל את השליטה במכונית, אבל לא ישנה את העובדה שהמכונית תוכל להגיע לכל נקודה שנרצה (עם צירוף ליניארי אחר). רק במקרה שהכפתור השני ישלוט גם הוא על ההתקדמות קדימה או אחורה (אפילו אם יש לו רגישות שונה), לא נוכל לפרוש את המרחב כי הווקטורים תלויים ליניארית.

ניתן להרחיב את מושג הפריסה למערכת מרובת ממדים. אם יש לנו רחפן, נצטרך כפתור שליטה נוסף כדי להביא את הרחפן לככל נקודה במרחב, משום שרחפן נע בשלושה ממדים ולכן הוא צריך 3 וקטורים שונים כדי לפרוס את המרחב. בהכללה, לכל מרחב n ממדי דרושים n וקטורים בלתי תלויים ליניארית כדי לפרוס אותו. וקטורים אלה נקראים הבסיס של המרחב.

דוגמאות

• הקבוצה ${\displaystyle \{1\}}$ פורשת את קבוצת המספרים הממשיים, מפני שכל מספר ממשי הוא צירוף ליניארי שלה (כי לכל מספר ממשי ${\displaystyle x}$ קיים ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ כך שמתקיים ${\displaystyle x=\lambda \cdot 1}$). בדומה, כל קבוצה של מספרים ממשיים – למעט הקבוצה הריקה ויחידון האפס (${\displaystyle \{0\}}$) – פורשת את קבוצת כל המספרים הממשיים ׁ(אבל לאו דווקא פורשת מינימלית). למשל: ${\displaystyle \{8\}}$, המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ או ${\displaystyle \{5,3.6\}}$ הן כולן קבוצות אשר פורשות את המספרים הממשיים.
• הקבוצה ${\displaystyle \{(3,0)\}}$ פורשת את המרחב ${\displaystyle A=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}}$, כי לכל ${\displaystyle v\in A}$, קיים ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ כך שמתקיים ${\displaystyle v=\lambda \cdot (3,0)}$.

בהתאם לדוגמאות שלעיל נוכל לסמן:

• ${\displaystyle \mathbb {R} =\operatorname {Sp} (\{1\})=\operatorname {Sp} (\{8\})=\operatorname {Sp} (\mathbb {N} )}$
• ${\displaystyle A=\operatorname {Sp} (\{(3,0)\})}$ .

לקריאה נוספת

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 בפברואר 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. נבדק ב-27 בספטמבר 2011.
• Brian P. Rynne & Martin A. Youngson (2008). Linear Functional Analysis, page 4, Springer מסת"ב 978-1848000049.

קישורים חיצוניים

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of linear algebra. 6 באוגוסט 2016 – via YouTube.
• קבוצה פורשת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. קיצור של המילה Span, פרישה באנגלית. לפעמים כותבים בפירוש ${\displaystyle \operatorname {Span} \left(A\right)}$