קטנואיד

קטנואיד

אנימציה של מעבר ממשטח בורגי לקטנואיד.

בגאומטריה, קטנואיד (באנגלית: Catenoid) הוא משטח ישרים תלת־ממדי, אחרי המישור, הקטנואיד הוא המשטח בעל שטח קטן ביותר, עובדה זו הוכחה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1744. הקטנואיד הוא גם משטח סיבוב. המשוואה הפרמטרית של קונואיד היא:

${\displaystyle x=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u}$.

${\displaystyle y=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u}$

${\displaystyle z=v}$

כאשר v,u הם מספרים ממשים ו-c הוא ממשי ששונה מאפס.

המשוואה הפרמטרית של קטנואיד בקואורדינטות גליליות היא:

${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}}}$

כאשר c הוא מספר ממשי כלשהו (ללא קשר ל-c הנ"ל)

מעבר מקטנואיד למשטח בורגי

קיימת פונקציה רציפה ואיזומטרית בין קטנואיד למשטח בורגי, שהיא בעל המשוואה הפרמטרית הבאה:

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}$

ומוגדרים ${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$, ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$,

שימושים

תכנון בניית איגלו בצורה סיבובית

האינואיטים בונים את האיגלו שלהם בצורה של קטנואיד כך שיהיה יחס אופטימלי בין הגובה לקוטר, כך שלא יהיה חשש לקריסה של המבנה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קטנואיד בוויקישיתוף

• קטנואיד, באתר MathWorld (באנגלית)