ריצוף פנרוז

רוג'ר פנרוז עומד על רצפה עם ריצוף פנרוז במכון לפיזיקה ואסטרונומיה באוניברסיטת טקסס A&M.

ריצוף פנרוז או פסיפס פנרוז הוא ריצוף של המישור שאינו מחזורי. הריצוף קרוי על שמו של המתמטיקאי הבריטי רוג'ר פנרוז.

המצולעים המרכיבים את ריצוף פנרוז קרויים אריחי פנרוז. ישנן וריאציות אחדות של ריצוף פנרוז:

• ריצוף פנרוז הראשון שנמצא הורכב מארבעה מצולעים: מחומש, כוכב מחומש, מעוין ו"סירה" (משובע לא משוכלל דמוי סירה).^[1]
• ריצוף פנרוז השני מורכב מדלתון קמור ("עפיפון") ודלתון קעור ("חץ"), שהצמדתם זה לזה תיתן מעוין, אך כללי הריצוף אוסרים הצמדה כזו. הזוויות הפנימיות בדלתון הקמור הן של 72, 72, 72 ו-144 מעלות, ובדלתון הקעור הן 36, 72, 36 ו-216 מעלות.
• ריצוף פנרוז השלישי מורכב משני מעוינים: האחד עם זוויות 72° ו-108° ("האריחים העבים"), השני - עם זוויות 36° ו-144° ("אריחים צרים"). המעוינים הללו מתקבלים על ידי חיבור של שני משולשי זהב (משולש שווה-שוקיים שהיחס בין הבסיס לשוק או בין השוק לבסיס הוא יחס הזהב). על מנת להקל על עמידה בכללי הריצוף נהוגות שתי שיטות: הוספת זיזים ושקעים לצלעות (בדומה לפאזל) או החלפת הצלעות בעקומות פרבוליות.

ריצוף פנרוז הראשון ריצוף פנרוז השני ריצוף פנרוז השלישי

כל ריצוף של המישור עם אריחים אלו אינו מחזורי, וכל שני ריצופים שונים זהים בצורה המקומית אחד לשני (כל פרט סופי של הריצוף נמצא בריצוף האחר).

תכונות

האריחים הסמוכים של הריצוף ניתנים לחבירה על ידי פרט צורה החוזר על הצורה עצמה. המרחק בין הקווים המקבילים הסמוכים מקבל שני ערכים שונים בדיוק (ולכל משפחת הקווים המקבילים סדרת הערכים הללו בעלת דמיון עצמי). ריצופי פנרוז שיש בהם חורים מכסים את כל השטח פרט לצורה בעלת שטח סופי. לא ניתן להגדיל את שטח החור על ידי הסרת מספר סופי של אריחים ומילוי החור הנותר באריחים.

היסטוריה

הצורה הגאומטרית נקראת על שמו של רוג'ר פנרוז שעסק במילוי מישורים בצורות מסוג אחיד ללא חפיפה ופערים ביניהן. הוא זה שלראשונה חיפש ומצא צורה שלא תחזור על עצמה - בעיה שנחשבה אז כבלתי ניתנת לפתרון. פנרוז הצליח לאסוף הרבה אריחים בעלי צורות שונות אך רק 2 מתוכם היו בעלי יחס זהב הנמצא בבסיס כל היחסים ההרמוניים.

הצורות שנוצרו בעלות צורות גבישיות כמו-מחזורית וסימטריה צירית בעלת הסדר החמישי. מבנה הריצוף קשור בסדרת פיבונאצ'י.

מאוחר יותר המדענים הישראלים דן שכטמן, אילן בלך יחד עם האמריקאי ג'ון קהאן והצרפתי דניס גרטיאס גילו את הצורה בסגסוגת מקוררת של מנגן ואלומיניום ובכך גם הראו שסדרי סימטריה בטבע אינם מוגבלים ל-1, 2, 3, 4 ו-6 וגבישים בעלי סימטריה מסדר ה-5 נמצאים במצב בין צורות אמורפיות לגבישים^[2].

במרחב תלת-ממדי למילוי נפח בעזרת אריחים אנלוגיים לאריחי פנרוז משתמשים באיקוסהדרונים.

ראו גם

• ריצוף של המישור
• מחומש
• פנטגרם
• כוכב (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ריצוף פנרוז בוויקישיתוף

• סבינה שטוקר-סגרה, ריצוף פנרוז, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 26 ביולי 2011
• ריצוף פנרוז, באתר MathWorld (באנגלית)

• Martin Gardner, MATHEMATICAL GAMES - Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American, January 1977, in JSTOR

הערות שוליים

1. Roger Penrose, Pentaplexity, Eureka Vol. 39, pp. 16–22
2. אסף שטול-טראורינג, פרופ' דני שכטמן גילה משהו שהעולם סירב להאמין לו. נשאר רק לחכות לפרס נובל, באתר הארץ, 24 במרץ 2011