תורת איווסווה

תורת איווסווה היא תחום בתורת המספרים, העוסק בחבורות מחלקות של שדות מספרים, מנקודת מבט של הפעולה של חבורת גלואה האבסולוטית. את התורה החל לפתח קנקישי איווסווה בשנות ה-50, עבור שדות ציקלוטומיים. בראשית שנות ה-70 הכליל בארי מזור את הרעיונות של איווסווה ליריעות אבליות. לאחרונה הוחל בפיתוח תורה מקבילה עבור מוטיבים.

מבוא

נקודת המוצא של איווסווה הייתה שקיימים שדות בתורת המספרים האלגברית, שחבורת גלואה האבסולוטית שלהם איזומורפית לגבול ההפוך של החבורות הציקליות ${\displaystyle \ \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, כאשר p מספר ראשוני קבוע. חבורה זו, אותה מקובל לסמן בהקשר זה באות ${\displaystyle \ \Gamma }$, היא החבורה האדיטיבית של חוג המספרים ה-p-אדיים - אחת החבורות הפרו-סופיות הפשוטות ביותר.

דוגמה

נסמן באות ${\displaystyle \zeta }$ את השורש ה-p-י של היחידה, ונתבונן בשרשרת ההרחבות ${\displaystyle \ K=\mathbb {Q} [\zeta ]\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots }$, כאשר ${\displaystyle \ K_{n}}$ הוא השדה הנוצר על ידי שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר ${\displaystyle \ p^{n+1}}$. נסמן ב- ${\displaystyle \ L}$ את איחוד השדות בשרשרת הזו, אז חבורת גלואה של ההרחבה L/K איזומורפית ל- ${\displaystyle \ \Gamma }$, משום שחבורת גלואה של ${\displaystyle \ K_{n}/K}$ היא ${\displaystyle \ \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. כדי לקבל מודול גלואה מעניין, איווסווה התבונן בחבורת המחלקות של ${\displaystyle \ K_{n}}$; נסמן ב- ${\displaystyle \ I_{n}}$ את החלק בעל פיתול p בחבורה זו. לכל ${\displaystyle \ n<m}$, העתקת הנורמה ${\displaystyle \ K_{m}\rightarrow K_{n}}$ משרה העתקת נורמה גם בין החבורות, ${\displaystyle \ I_{m}\rightarrow I_{n}}$, וזוהי מערכת עקבית של העתקות. הגבול ההפוך ${\displaystyle \,I}$ הוא חבורה פרו-p, שיש עליה פעולה טבעית של ${\displaystyle \ \mathbb {Z} _{p}}$. אם מכניסים לחשבון את האוטומורפיזם היוצר (טופולוגית) את החבורה ${\displaystyle \ \Gamma }$, מתקבלת פעולה של החוג ${\displaystyle \ \mathbb {Z} _{p}[[T]]}$. המטרה של תורת איווסווה היא לתאר פעולה זו, ודומות לה.

מקרה זה, העוסק בחלק בעל פיתול p של חבורות המחלקות של שדות ציקלוטומיים, נחקר בעבר על ידי קומר; קומר חקר את המשפט האחרון של פרמה, ומצא לו הוכחה קלה יחסית, שתקפה בדיוק כאשר בחבורת המחלקות של ${\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta ]/\mathbb {Q} }$ אין איברים מסדר p. איווסווה ביקש 'לדחוף את הבעיה לאינסוף', בתקווה שאפשר יהיה לטפל בה באמצעים אחרים. מכיוון ש- ${\displaystyle \ \mathbb {Z} _{p}[[T]]}$ הוא חוג מקומי רגולרי מממד 2, המבנה של מודולים מעליו אינו מסובך יתר על המידה, וכך אפשר להשיג מידע רב ערך על I.

היסטוריה

כבר בתחילת דרכה, הפכה תורת איווסווה לתחום מרכזי בתורת המספרים האלגברית. Kubota ו- Leopoldt מצאו בשנות ה-60 קשר בין תורת המודולים לבין פונקציות L ‏ p-אדיות; כאן מופיעים מספרי ברנולי, ואנלוגים p-אדיים של פונקציות L של דיריכלה. תוצאות אלה היוו פריצת דרך לכיוון ההוכחה של המשפט האחרון של פרמה, מעבר לראשוניים הרגולריים שחקר קומר.

לפי "ההשערה המרכזית של תורת איווסווה", שנוסחה באותו זמן, שתי הדרכים האפשריות להגדיר את פונקציות L ה-p-אדיות (בעזרת תורת המודולים, ובעזרת אינטרפולציה p-אדית) נותנות את אותה תוצאה. אנדרו ויילס ובארי מזור הצליחו להוכיח השערה זו עבור שדה המספרים הרציונליים, וויילס הכליל את התוצאות לכל שדה מספרים ממשי לחלוטין. הגישה בשני המקרים הייתה מבוססת על ההוכחה שנתן קן ריבט לכיוון ההפוך של משפט הרברנד (תוצאה הידועה בשם משפט הרברנד-ריבט). מתוצאות אלה נובע שפונקציית זטא ה-p-אדית (הגרסה ה-p-אדית של פונקציית זטא של רימן) אינה מתאפסת.

מקורות

• Greenberg, Ralph, Iwasawa Theory - Past & Present, Advanced Studies in Pure Math. 30 (2001), 335-385. Available at [1]
• Coates, J. and Sujatha, R., Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer-Verlag, 2006
• Lang, S., Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, 1978
• Washington, L., Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd edition, Springer-Verlag, 1997
• Barry Mazur and Andrew Wiles, Class Fields of Abelian Extensions of Q, Inventiones Mathematicae, 76 (1984) 179-330
• Andrew Wiles, The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields, Annals of Mathematics, 131 (1990) 493-540
• Chris Skinner and Eric Urban, Sur les deformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335 (2002) 581-586