תורת הקבוצות - מונחים

• תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
  • תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
  • תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.

• קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.

• תת קבוצה: קבוצה ${\displaystyle B}$ היא תת קבוצה של הקבוצה ${\displaystyle A}$ אם כל איבר של ${\displaystyle B}$ שייך גם ל-${\displaystyle A}$. נסמן זאת בצורה: ${\displaystyle B\subseteq A}$.

• הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן ${\displaystyle \emptyset }$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
• יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
• פעולות על קבוצות:
  • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: ${\displaystyle A\cup B}$.
    • הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
  • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: ${\displaystyle A\cap B}$.
    • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
      • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$ ו-${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
  • הפרש: ההפרש בין ${\displaystyle A}$ ל־${\displaystyle B}$ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־${\displaystyle A}$ ולא שייכים ל־${\displaystyle B}$.
    • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי ${\displaystyle A}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle B}$ וכל איברי ${\displaystyle B}$ שלא שייכים ל־${\displaystyle A}$ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
    • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
  • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות ${\displaystyle A,B}$ היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-${\displaystyle A}$ והשני שייך ל-${\displaystyle B}$. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
    • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • בחירה
• קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
• קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

• עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה ${\displaystyle A}$ תסומן ${\displaystyle \left|A\right|}$.
  • ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
  • ${\displaystyle \aleph }$ או ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.

• השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ו-${\displaystyle \aleph }$, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

• קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
• קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
• קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה ${\displaystyle A}$ תסומן ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$.

• יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - ${\displaystyle A}$, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - ${\displaystyle B}$ (לא בהכרח שונה מ-${\displaystyle A}$). בכתיב פורמלי: קבוצה ${\displaystyle R}$ תיקרא יחס מ-${\displaystyle A}$ ל-${\displaystyle B}$ אם ${\displaystyle \!\,R\subseteq A\times B}$.
  • פונקציה: יחס בו לכל איבר של ${\displaystyle A}$ קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
    • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה ${\displaystyle \!\,f:X\rightarrow Y}$ תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל ${\displaystyle y}$ בטווח ${\displaystyle Y}$ קיים לכל היותר ${\displaystyle x}$ אחד בתחום ${\displaystyle X}$ המקיים ${\displaystyle \!\,f(x)=y}$.
    • פונקציה על: פונקציה ${\displaystyle \!\,f:X\rightarrow Y}$ תקרא על אם לכל ${\displaystyle y}$ בטווח ${\displaystyle Y}$ קיים לפחות ${\displaystyle x}$ אחד בתחום ${\displaystyle X}$ המקיים ${\displaystyle \!\,f(x)=y}$.
    • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל ${\displaystyle y}$ קיים ${\displaystyle x}$ יחיד כך ש-${\displaystyle f(x)=y}$ (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
  • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה ${\displaystyle A}$ המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
  • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
    • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
    • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

• קבוצת כל הפונקציות מקבוצה ${\displaystyle A}$ לקבוצה ${\displaystyle B}$: קבוצה המסומנת ${\displaystyle B^{A}}$ והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה ${\displaystyle A}$ אל תוך הקבוצה ${\displaystyle B}$.

• הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

• ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

• משפטים:
  • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
  • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
  • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה ${\displaystyle A}$ לקבוצה ${\displaystyle B}$, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה ${\displaystyle B}$ לקבוצה ${\displaystyle A}$, אז שתי הקבוצות שקולות.