डीरिख्ले परीक्षण

कलन
मूलभूत प्रमेय फलन की सीमा निरंतरता माध्यमान प्रमेय रॉल प्रमेय
अंतर कलन अवकलज Change of variables Implicit differentiation टेलर प्रमेय Related rates अवकलजों की सूची घात नियम गुणन का नियम भाग का नियम शृंखला नियम
समाकलन समाकल समाकल सूची अनंत समाकल समाकलन भागों से चक्र cylindrical shells प्रतिस्थापन से त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन आंशिक भिन्न changing order
सदिश कलन प्रवणता डाइवर्जेन्स (अपसरण) कर्ल लाप्लास संकारक प्रवणता प्रमेय ग्रीन प्रमेय स्टॉक प्रमेय अपसरण प्रमेय
बहुचर कलन मेट्रिक्स कलन आंशिक अवकलज गुणित समाकल रेखा समाकलन पृष्ठ समाकल आयतन समाकल जेकोबियन
दे वा सं

गणित में डीरिख्ले परीक्षण (Dirichlet's test) किसी श्रेणी के अभिसरण के परीक्षण की एक विधि है। इसका नामकरण इसके लेखक पीटर गुस्ताफ लजन डीरिक्ले के 'जर्नल डी मैथेमेटिक्स प्योर एट अप्पलिक़्यीक्स' (एक फ्रांसीसी जर्नल जिसकी शब्दावली का हिन्दी अनुवाद "शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित के जर्नल" है।) में प्रकाशन के बाद उनके मरणोपरान्त किया गया।^[1]

कथन

परीक्षण के कथन के अनुसार यदि ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ एक वास्तविक अनुक्रम है और ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ सम्मिश्र अनुक्रम है जो निम्न सम्बंधों को सन्तुष्ट करते हैं:

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}>0}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$ for every positive integer N

जहाँ M एक नियतांक है, तब श्रेणी

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

अभिसारी होगी।

उपपत्ति

माना ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}}$ और ${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}}$ है।

घटकों में संकलन से हम ${\displaystyle S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=0}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ प्राप्त करते हैं।

चूँकि ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$ के लिए ${\displaystyle B_{n}}$ M से परिबद्ध है, n→∞ के लिए ये पद शून्य की ओर अग्रसर ${\displaystyle a_{n+1}B_{n}\to 0}$ होंगे।

अन्य विधि से, चूँकि अनुक्रम ${\displaystyle a_{n}}$ ह्रसमान है, ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}}$ सभी k के लिए धनात्मक है, अतः ${\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})}$ द्वारा परिबद्ध है। अतः B_n का आंशिक योग और उसके गुणक का मान B_n का आंशिक योग (एक मान M) और समान गुणज से कम होगा।

लेकिन ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})}$, जो एक अंतर्वेधन श्रेणी है और इसका मान ${\displaystyle M(a_{0}-a_{n+1})}$ के बराबर है अतः n→∞ के लिए ${\displaystyle Ma_{0}}$ की ओर अग्रसर है। अतः ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ अभिसारी है।

इसी तरह ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|}$ भी सीधे तुलना परीक्षण से अभिसरित होती है। श्रेणी ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरित होती है। इसिलिए ${\displaystyle S_{n}}$ अभिसारी है।

अनुप्रयोग

डीरिख्ले परीक्षण की एक विशेष स्थिति सामान्यतः प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण के लिए निम्न स्थिति में काम में ली जाती है

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}$.

इसकी अन्य उपप्रमेय यह है कि ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ अभिसारी है जब ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ एक ह्रसमान अनुक्रम है जो शून्य की ओर अग्रसर है।

अनन्त समाकल

अनन्त समाकल में भी अभिसरण के लिए इस परीक्षण को प्रयुक्त किया जाता है।

टिप्पणी

1. Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), p. 253-255 Archived 2011-07-21 at the वेबैक मशीन.

सन्दर्भ

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).

• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X.

बाहरी कड़ियाँ

• Proof at PlanetMath.org