प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

सरल पथरी उदाहरण

कैलकुलस में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) , समाकलन की एक प्रमुख विधि है। वस्तुतः यह अवकलन के शृंखला नियम का उल्टा (counterpart) है।

परिभाषा

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt.}$

उदाहरण 1

निम्नलिखित समाकलन पर विचार कीजिये।

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}$

हम यह प्रतिस्थापन करते हैं : u = ϕ(x) = x² + 1, जिससे du = 2x dx प्राप्त होता है। अतः; x dx = ½du

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}}$

प्रतिस्थापन करते हुए समाकलन की सीमाओं को बदलना नहीं भूलना चाहिये। ध्यान दें कि निचली सीमा x = 0 के स्थान पर u = 0² + 1 = 1 रखा गया है। इसी तरह ऊपरी सीमा x = 2 के स्थान पर u = 2² + 1 = 5 रखा गया है

Integration e^2logsecx

इन्हें भी देखें

• चर परिवर्तन
• समाकलन

सन्दर्भ