ब्रह्मगुप्त अन्तर्वेशन सूत्र

ब्रह्मगुप्त का अन्तर्वेशन सूत्र (Brahmagupta's interpolation formula) भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तुत एक अन्तर्वेशन सूत्र है जो दो घात वाले बहुपद का उपयोग करता है। इस अन्तर्वेशन का वर्णन उनके प्रसिद्ध ग्रन्थ खण्डखाद्यक के परिशिष्ट में आया है। यही श्लोक ब्रह्मगुप्त द्वारा इससे पहले रचित 'ध्यान-ग्रह-अधिकार' में भी आता है किन्तु उसकी रचनाकाल अनिश्चित है।

गत भोग्य खण्डकान्तर दल विकल् वधात् शतैर्नवभिराप्तैः।

तद्युति दलं युतोनं भोग्यादूनाधिकं भोग्यम् ॥ (खण्डखाद्यक ; अध्याय ९, श्लोक ८)

(अनुवाद : Multiply the vikala by the half the difference of the gatakhanda and the bhogyakhanda and divide the product by 900. Add the result to half the sum of the gatakhanda and the bhogyakhanda if their half-sum is less than the bhogyakhanda, subtract if greater. (The result in each case is sphuta-bhogyakhanda the correct tabular difference.))

ब्रह्मगुप्त का यह अन्तर्वेशन सूत्र वर्तमान समय के द्वितीय ऑर्डर वाले न्यूटन-स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Newton–Stirling interpolation formula) के तुल्य है।

x	x2	...	xr	xr+1	...	xn
अन्तर	D1	...	Dr	Dr+1	...	Dn

ब्रह्मगुप्त के पहले के भारतीय गणितज्ञ जो अन्तर्वेशन सूत्र प्रयोग करते थे वह एक सरल रैखिक अन्तर्वेशन (simple linear interpolation) सूत्र था। f(a) की गणना करने का यह रैखिक सूत्र यह है-

${\displaystyle f(a)=f_{r}+tD_{r}}$ where ${\displaystyle t={\frac {a-x_{r}}{h}}}$.

f(a) की गणना करने के लिये ब्रह्मगुप्त ने D_r के स्थान पर एक दूसरे ब्यंजक (expression) का उपयोग किया जो अपेक्षाकृत अधिक शुद्ध (accurate) मान देता है। वस्तुतः यह द्वितीय ऑर्डर का इन्टर्पोलेशन सूत्र है।

इसी कि निम्नलिखित आधुनिक रूप में लिख सकते हैं-

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a)&=f_{r}+t\times {\text{sphuta-bhogyakhanda}}\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}}$

बाहरी कड़ियाँ

• On finite differences, Interpolation Methods and Power Series Expansion in Indian Mathematics
• Second Degree Interpolation in Indian Mathematics (राधाचरण गुप्त ; BIT राँची)