Abelov teorem

Abelov teorem je jedan od temeljnih teorema u matematičkoj analizi, posebice u proučavanju reda funkcija. Teorem je nazvan po norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu. Iskaz teorema glasi:

Ako red potencija ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ konvergira u točki ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$, tada taj red konvergira apsolutno i uniformno na svakom segmentu ${\displaystyle [-a,a]\subset (-|x_{0}|,|x_{0}|)}$.

Dokaz

Neka je ${\displaystyle x\in [-a,a]}$ proizvoljan. Red ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ak{x_{0}}^{k}}$ konvergira pa je niz ${\displaystyle (a_{k}{x_{0}}^{k}}$ nula niz (niz s limesom u nuli), a time je to i ograničen niz. Dakle, postoji konstanta ${\displaystyle M>0}$ takva da je ${\displaystyle |a_{k}{x_{0}}^{k}|<M,k=0,1,2,...}$ Odavde i iz ${\displaystyle a_{k}x^{k}=a_{k}{x_{0}}^{k}({\frac {x}{x_{0}}})^{k}}$ dobivamo ${\displaystyle |a_{k}x^{k}|=|a_{k}{x_{0}}^{k}|\cdot |{\frac {x}{x_{0}}}|^{k}<M\cdot |{\frac {x}{x_{0}}}|^{k}\leq M\cdot |{\frac {a}{x_{0}}}|^{k}.}$(*)

Kako je ${\displaystyle 0<a<|x_{0}|}$, lako zaključujemo da geometrijski red ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|{\frac {a}{x_{0}}}|^{k}}$ konvergira, a zbog (*) slijedi apsolutna i uniformna konvergencija reda ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a^{k}x^{k}}$ na segmentu ${\displaystyle [-a,a]}$.^[1]

Izvori

1. Matematička analiza 2, Nermina Mujaković, 2013.