Weierstrassov teorem o uniformnoj konvergenciji reda funkcija

Weierstrassov teorem o uniformnoj konvergenciji reda funkcija je teorem u matematičkoj analizi koji služi za određivanje je li beskonačni red apsolutno i uniformno konvergentan.

Odnosi se na one redove čiji su članovi ograničene funkcije. Teorem je nazvan po velikom njemačkom matematičaru Karlu Weierstrassu.

Iskaz

Neka je ${\displaystyle (f_{k})}$ niz redova funkcija definiranih na nekom skupu ${\displaystyle E}$ i neka postoji niz nenegativnih brojeva ${\displaystyle a_{k}}$ takvih da red ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergira i ${\displaystyle |f_{k}(x)|\leq a_{k}}$ vrijedi za sve ${\displaystyle k\geq 1}$ i za sve ${\displaystyle x\in E}$, tada red ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}}$ konvergira apsolutno i uniformno na ${\displaystyle E}$.

Dokaz

Prema teoremu o uspoređivanju redova, red ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$ apsolutno konvergira za svaki ${\displaystyle x\in E}$. Neka je ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x),S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$ te ${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k},\tau _{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Ako je ${\displaystyle |f_{k}(x)|\leq a_{k}}$, za ${\displaystyle k>n_{1}}$ i sve ${\displaystyle x\in E}$, tada za sve ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} (m>n>n_{1})}$ i za svaki ${\displaystyle x\in E}$ imamo ${\displaystyle |\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}|fk(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}a_{k}=\tau _{m}-\tau _{n}.}$

Odavde, pri ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$, za svaki ${\displaystyle x\in E}$ imamo ${\displaystyle |f(x)-S_{n}(x)|<A-\tau _{n}\rightarrow 0,(n\rightarrow \infty ).}$

To znači da za svaki ${\displaystyle \epsilon >0}$ postoji ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ takav da za svaki ${\displaystyle x\in E}$ vrijedi ${\displaystyle (n>n0)\implies |f(x)-S_{n}(x)|<\epsilon }$, što znači da red ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}}$ uniformno konvergira na ${\displaystyle E}$, što je i trebalo pokazati.^[1]

Izvori

1. Matematička analiza 2, Nermina Mujaković, 2013.