Artin L-függvény

Artin L-függvény

Az Artin L-függvény az algebrai számelmélet egyik központi objektuma, ami számtestek egy Galois-bővítésének aritmetikai tulajdonságainak összességét kódolja egy analitikus objektumban (azaz egy függvényben). A számelmélet számos fontos kérdése megfogalmazható az Artin L-függvények viselkedése, speciálisan az egyes helyeken felvett értékein keresztül. Az Artin L-függvény általánosítja a Riemann ζ-függvény, a Dedekind ζ-függvény illetve a Dirichlet L-függvény fogalmát.

Komplex Artin L-függvények

Legyen ${\displaystyle L/K}$ számtestek egy Galois-bővítése, és jelölje ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ illetve ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ az egészek gyűrűit bennük. Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$ egy prímideál, és legyen ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ egy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ fölötti prím; ekkor az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}$ maradéktest egy véges test, az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$ véges test egy Galois-bővítése. A bővítés Galois-csoportja ciklikus, és egy generátora a Frobenius-leképezés, ami az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}$ egy elemét ${\displaystyle \mathrm {N} ({\mathfrak {P}})=\#({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}})}$-edik hatványra emeli (ezt a kitevőt a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ abszolút normájának nevezik).

Jelölje ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ illetve ${\displaystyle I_{\mathfrak {P}}}$ a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-hez rendelt felbontási részcsoportot illetve inerciarészcsoportot. A ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}}$ faktorcsoportról a maradéktestek Galois-csoportjára képző természetes leképezés egy csoportizomorfizmus, így a faktorcsoport is ciklikus, és egy generátora a jobb oldali Frobenius-leképezés ősképe, jelölje ezt ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}&\xrightarrow {\sim } \mathrm {Gal} \left({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}{\bigg /}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}\right)\\\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}&\mapsto \left(x\mapsto x^{\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})}\right)\end{aligned}}}$

Legyen ${\displaystyle \rho :\mathrm {Gal} (L/K)\to \mathrm {GL} (V)}$ a Galois-csoport egy reprezentációja. Jelölje ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ az inerciarészcsoport alatt invariáns vektorok alterét. A ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}}$ faktorcsoport hat a ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ téren, így a

${\displaystyle \det \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}X\,|\,V^{I_{\mathrm {P} }}\right)}$

karakterisztikus polinom jóldefiniált. Továbbá megmutatható, hogy ez csak a ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ prímideáltól függ, és nem műlik a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ prím megválasztásán.

Az ${\displaystyle L/K}$ bővítéshez és a ${\displaystyle \rho }$ reprezentációhoz tartozó Artin L-függvényt a következő képlet definiálja:^[1]

${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)=\prod _{\mathfrak {p}}\det \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})^{-s}\,|\,V^{I_{\mathfrak {P}}}\right)^{-1}}$,

ahol ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ végigfut a K prímideáljain, és s egy komplex szám ${\displaystyle \Re (s)>1}$ valós résszel. A ${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)}$ jelölésben a külső L a függvényt jelöli, a belső L a számtestet; a különbséget bizonyos források tipográfiai stilizálással hangsúlyozzák. Az egyes prímekhez tartozó tényezőkre gyakran Euler-faktor néven hivatkoznak, a Riemann illetve Dedekind-féle zéta-függvények Euler-szorzatalakjával való hasonlóság miatt.

A ${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)}$ függvény abszolút és egyenletesen konvergens a ${\displaystyle \Re (s)>1+\delta }$ félsíkon bármely ${\displaystyle \delta >0}$-ra, és meromorf kiterjeszthető az egész komplex számsíkra.^[2] Mivel a komplex reprezentációkat meghatározza a karakterük, a függvényt gyakran ${\displaystyle L(L/K,\chi ,s)}$ jelöli, ahol ${\displaystyle \chi =\mathrm {Tr} (\rho )}$ a ${\displaystyle \rho }$ reprezentáció karaktere. A komplex Artin L-függvény funktoriális a testbővítésre illetve a karakterre nézve.^[3]

A triviális karakter esetében az Artin L-függvény megegyezik a K test Dedekind zéta-függvényével, és a fenti definícióban szereplő szorzat megegyezik a zétafüggvény Euler-szorzatalakjával. Bár a Dedekind zéta-függvény nem az Euler-szorzatalak mellett egy sor összegeként is definiálható, ez utóbbi tulajdonság nem terjed ki az Artin L-függvényekre.

Az osztálytestelméleten keresztül leírható az Artin L-függvények és a Hecke L-függvények közötti kapcsolat,^[4] ezen keresztül pedig az utóbbiak analitikus tulajdonságai átvihetők az Artin L-függvényekre.

p-adikus Artin L-függvények

Legyen p egy rögzített prímszám. A komplex Artin L-függvények p-adikus módszerekkel is tanulmányozhatók. A komplexből a p-adikus világba való átmenetet p-adikus interpolációnak nevezik. A p-adikus interpoláció alapgondolata az, hogy a fenti komplex Artin L-függvényből egy kis módosítással egy olyan függvény nyerhető, ami a p-adikusan „jól” viselkedik. Konkrétan a p prím feletti Euler-faktorok azok, amik p-adikusan „rosszul” viselkednek, ezért ezeket kell eltávolítani az Euler-szorzatból.

A p-adikus interpoláció elméletét Kubota és Leopoldt (1964) dolgozták ki a Riemann-féle zétafüggvényre.^[5] Az Artin L-függvényekre vonatkozó általánosítást Pierrette Cassou-Noguès (1979) illetve Deligne és Ribet (1980) adták meg teljesen valós számtestek bővítéseinek egydimenziós karakterei esetében.^[6][7] A magasabb dimenziós karakterekre vonatkozó általánosítás Greenberg (1983) munkája.^[8]

Az így kapott p-adikus Artin L-függvény ${\displaystyle L_{p}(\chi ,-)}$ egy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}$ függvény, ha ${\displaystyle \chi \neq \mathbf {1} }$ nem a triviális karakter, és egy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}-\{1\}\to \mathbb {C} _{p}}$ függvény, ha ${\displaystyle \chi =\mathbf {1} }$ a triviális karakter. Itt ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ a komplex p-adikus számok testét jelöli. Ha ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}\xrightarrow {\sim } \mathbb {C} }$ egy (nem kanonikus) testizomorfizmus, akkor a komplex Artin L-függvényekkel való kapcsolat a következő:

${\displaystyle L_{p}(\chi ,1-n)=L(L/K,\chi \omega ^{-n},1-n)\quad \forall n\geq 1}$,

ahol ${\displaystyle \omega }$ a p-adikus körosztási karakter véges része (a Teichmüller-karakter), és az egyenlőség az imént fixált testizomorfizmuson keresztül értendő.

A fenti p-adikus L-függvények központi szereppel bírnak a számtestek Iwasawa-elméletében. Az Iwasawa-elmélet alapvető felismerése, hogy véges testbővítések külön-külön való tanulmányozása helyett gyülölcsözőbb megközelítés ilyen bővítések végtelen családjait vizsgálni. Pontosabban olyan Galois-bővítésekről van szó, amiknek a Galois-csoportja a p-adikus egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ additív csoportjával izomorf. Ilyenkor az Iwasawa-elmélet központi sejtése – ami bizonyos esetekben bebizonyított tétel – egy kapcsolatot ír le egyrészt az egyes véges bővítésekhez kapcsolt p-adikus L-függvények, másrészt a testbővítés közbülső testjeihez rendelt osztálycsoportok között. Ennél általánosabb kontextusban is lehet Iwasawa központi sejtésekről beszélni: ezek mindig egy analitikus objektum (itt egy p-adikus L-függvényt) és egy algebrai objektum (itt az osztálycsoportok) közötti kapcsolatot írnak le.

A fenti p-adikus L-függvények mind egy-egy karakterhez vannak csatolva. Ritter és Weiss (2004) bevezettek egy úgynevezett ekvivariáns p-adikus Artin L-függvényt, ami egy adott bővítés Galois-csoportjának összes karakterét egyszerre kezeli.^[9] Ezekkel az objektumokkal az ekvivariáns Iwasawa-elmélet foglalkozik.

Artin-sejtések

A komplex Artin L-függvények a priori meromorfak a komplex számsíkon, így természetesen merül fel a kérdés, hogy milyen szingularitásokkal bírnak. Ha ${\displaystyle \chi =\mathbf {1} }$ a triviális karakter, akkor ${\displaystyle L(L/K,\mathbf {1} ,s)=\zeta _{K}(s)}$ a Dedekind-féle zéta-függvény: ennek egyszeres pólusa van ${\displaystyle s=1}$-nél, és mindenütt másutt holomorf. Az Artin-sejtés azt mondja ki, hogy ha ${\displaystyle \chi \neq \mathbf {1} }$ nem a triviális karakter, akkor ${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)}$ egész függvény.^[10] Az Artin-sejtés bizonyítva van abban az esetben, amikor az L/K bővítés Galois-csoportja Abel-csoport. Nem Abel-csoportokra a az Artin-sejtés nyitott probléma.

Ha ${\displaystyle \chi }$ egy lineáris karakter, akkor Cassou-Noguès és Deligne–Ribet munkájából következik, hogy a p-adikus Artin L-függvény kifejezhető egy ${\displaystyle G_{\chi }(T)/H_{\chi }(T)}$ hányadosként. Itt ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[[T]]}$ egy ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}}$ fölötti formális hatványsor, ahol ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}}$ azon ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\chi )}$ test egészeinek gyűrűje, ami ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$-ből ${\displaystyle \chi }$ értékeinek adjungálásával jön létre. A ${\displaystyle H_{\chi }(T)\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[T]}$ nevező pedig egy explicit leírható legfeljebb elsőfokú polinom. Greenberg magasabb dimenziós karakterekre való kiterjesztésében ez az eredmény annyiban változik, hogy ilyenkor ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in \mathrm {Quot} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[[T]])}$ két hatványsor hányadosa: ez a Greenberg által alkalmazott Brauer-féle indukciós módszer velejárója. A Greenberg által megfogalmazott p-adikus Artin-sejtés erről a ${\displaystyle G_{\chi }(T)}$ hányadosról szól. Greenberg két sejtést tett:^[11]

1. ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in \mathbb {Z} _{p}[[T]]\otimes _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {C} _{p}}$;
2. ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[[T]]}$

Greenberg megmutatta, hogy az első sejtés következik az Iwasawa központi sejtésből, amit ebben a kontextusban végül Wiles (1990) bizonyított be: ezzel az első sejtés is bizonyítva lett.^[12] A második, erősebb sejtést Ritter–Weiss (2004) igazolta.^[13]

Jegyzetek

1. Neukirch 1992 (10.1)
2. Neukirch 1992 §12
3. Neukirch 1992 (10.4)
4. Neukirch 1992 (10.6)
5. Koblitz Chapter II
6. Pi. Cassou-Noguès 1979
7. Deligne–Ribet 1980
8. Greenberg 1983
9. Ritter–Weiss 2004
10. Neukirch 1992 527. o.
11. Greenberg 1983 82. o.
12. Wiles 1990 Theorem 1.1
13. Ritter–Weiss 2004 Remark (G)

Források

• ↑ Pi. Cassou-Noguès 1979: Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911
• ↑ Deligne–Ribet 1980: Deligne, Pierre & Ribet, Kenneth A. (1980), "Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields", Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237
• ↑ Greenberg 1983: Ralph Greenberg (1983. március). „On p-adic Artin L-functions”. Nagoya Mathematical Journal 89, 77–87. o. DOI:10.1017/S0027763000020250.  
• ↑ Koblitz 1984: Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3
• ↑ Neukirch 1992: Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. (németül) Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 3-540-54273-6  
• ↑ Ritter–Weiss 2004: Jürgen Ritter, Alfred Weiss (2004. december 1.). „Toward equivariant Iwasawa theory, II”. Indagationes Mathematicae 15 (4), 549–572. o. DOI:10.1016/S0019-3577(04)80018-1.  
• ↑ Wiles 1990: Andrew Wiles (1990. november 1.). „The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields”. Annals of Mathematics 131 (3), 493–540. o.