Bessel-egyenlőtlenség

A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-térbeli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.

Legyen ${\displaystyle H}$ Hilbert-tér, és legyen ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ egy ortonormált rendszer ${\displaystyle H}$-ban. Ekkor minden ${\displaystyle x\in H}$-ra:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot.

Ha a fenti ortonormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.

A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

Ez a szócikk a PlanetMath Bessel inequality cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap