Bethe-rács

A Bethe-rács z = 3 esetben

A Bethe-rács vagy Cayley-fa olyan gráfelméleti fa, melynek minden csúcsa z fokszámú. Ezt a z számot nevezik a rács koordinációs számának is. A Bethe-rács tekinthető egy központi csúcsból induló fa-szerkezetnek is, ahol a további csúcsok héjakként szerveződnék a központi csúcs köré. A középső csúcsot hívhatjuk a gráf gyökerének vagy origójának.

A fogalmat Hans Albrecht Bethe vezette be 1935-ben.

A k. héjon lévő csúcsok száma a következőképpen adódik:

${\displaystyle \,N_{k}=z(z-1)^{k-1}{\text{ ahol }}k>0.}$

Egyes esetekben a definíció úgy módosul, hogy a gyökércsúcs csak z ‒ 1 szomszéddal rendelkezik.

Kapcsolat a Cayley-gráfokkal

A 2n fokszámú Bethe-rács lényegében az n generátorú szabad csoport Cayley-gráfja.

Lie-csoportokban

A Bethe-rácsok megjelennek egyes hiperbolikus Lie-csoportok diszkrét részcsoportjaiként is, mint például a Fuchs-csoport. Ilyen esetekben a Bethe-rácsok csoportelméleti értelemben is rácsot alkotnak.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Bethe lattice című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• H. A. Bethe. Statistical theory of superlattices Ser A, 150. Proc. Roy. Soc. London, 552-575. o. (1935) 

Kapcsolódó szócikkek

• Cayley-gráf
• Kristály

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap