Diszjunkt unió

A matematikában, a diszjunkt unió két dolgot jelenthet:

• Halmazelméletben, a diszjunkt unió egy unió művelet, ahol a diszjunkt uniót alkotó halmazoknak nincs közös eleme.
• A valószínűségelméletben (vagy még általánosabban a méréselméletben) rendszerint a párosan előforduló, egymással közös részt nem alkotó entitásokat, halmazokat nevezik diszjunkt uniónak.

Halmazelméleti definíció

Formálisan legyen {A_i : i ∈ I} egy halmazcsalád I indexszel. Ennek a halmazcsaládnak a diszjunkt uniója:

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i):x\in A_{i}\}.}$

A diszjunkt unió elemei (x, i) rendezett párok. Itt az i egy járulékos index, mely azt jelzi, mely A_i származik x-től. Minden egyes A_i kanonikusan beágyazódik a diszjunkt unióba:

${\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i):x\in A_{i}\}.}$

i ≠ j-re, az A_i* és A_j* diszjunktak, még akkor is, ha A_i és A_j halmazok nem azok. Extrém esetben, amikor minden egyes A_i egyenlő egy valamilyen fix A halmazzal, minden egyes i ∈ I-re, a diszjunkt unió A és I Descartes-szorzata: ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$ esetenként ez a jelölés:

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$

egy halmaz-család diszjunkt uniójára, vagy A + B, két halmaz diszjunkt uniójára.

Ez a jelölés emlékeztet arra a tényre, hogy a diszjunkt unió számossága a család kifejezéseinek számosságának az összege. (Lásd még a halmaz család Descartes-szorzata).

A kategória-elmélet nyelvezetében a diszjunkt unió a halmazok kategóriájának kategória összege. Ezért ez kielégíti a kapcsolódó univerzális tulajdonságot. Ez azt is jelenti, hogy a diszjunkt unió kategória duálisa a Descartes-szorzat konstrukciónak.

Több oknál fogva, egy kiegészítő index partikuláris választása nem lényeges, és egy egyszerűsítő módszerben, az indexelt családot egyszerűen lehet kezelni, mint egy halmaz gyűjteményét.

Ez esetben ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ egy másolatának tekinthető, és a ${\displaystyle \bigcup _{A\in C}{^{*}}A}$ jelölés használatos.

Valószínűségelméleti definíció

Legyen C egy páronként diszjunkt halmazok gyűjteménye. Ez azt jelenti, hogy a C-ben minden A≠B halmaz metszete üres, azaz A∩B = ∅. C ben az összes halmaz uniója, a halmazok diszjunkt uniója:

${\displaystyle \bigsqcup _{A\in C}A\equiv \bigcup _{A\in C}A}$

és így, a “diszjunkt unió” kifejezés egyszerűen rövidítése a “ halmazok uniójának, melyek páronként diszjunktak”.

Irodalom

• Dancs István: Halmazelmélet. (hely nélkül): Aula Kiadó Kft. 2001. ISBN 9639345520  
• Weisstein, Eric: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): CRC Press. 1999.  

Kapcsolódó szócikkek

• Halmazelmélet
• Halmaz
• Valószínűségelmélet
• Méréselmélet
• Számosság
• Diszjunkt halmazok