Duális számok

A duális számok halmaza a valós számkör bővítése úgy, hogy felveszünk egy ε≠0 elemet, amelyre teljesül az ε²=0 egyenlőség.
Így duális számok azok, amelyek felírhatók ${\displaystyle z=a+b\varepsilon \,}$ alakban.

A duális számok tekinthetők egy egydimenziós vektortér külső algebrájának. Az általános, n dimenziós eset a Grassmann-számokhoz vezet. A komplex számokhoz és a hasított komplex számokhoz hasonlóan a síkalgebra egyik megvalósítása.

Konstrukció

A duális számokat a komplexekhez hasonlóan többféleképpen konstruálhatjuk:

• Rendezett párokként a megfelelő műveletek definiálásával
• Meghatározott alakú mátrixokként a szokásos mátrixszorzással és összeadással

Legyen ${\displaystyle a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$

A mátrixszorzás az ilyen mátrixok között kommutatív:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\0&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\0&a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}a_{2}&b_{1}a_{2}+b_{2}a_{1}\\0&a_{1}a_{2}\end{pmatrix}}}$

és

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\0&a_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\0&a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}a_{1}&b_{2}a_{1}+b_{1}a_{2}\\0&a_{2}a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}a_{2}&b_{1}a_{2}+b_{2}a_{1}\\0&a_{1}a_{2}\end{pmatrix}}}$

• A ${\displaystyle \mathbf {R} [X]/(X^{2})}$ gyűrűből, azaz a valósak feletti álló polinomok ${\displaystyle X^{2}}$-tel vett maradékosztályaiból,

ugyanúgy, ahogyan a komplex számokat tekinthetjük a valósak feletti polinomok ${\displaystyle X^{2}+1}$-gyel vett maradékosztályainak.

Ezek a definíciók algebrailag ekvivalensek.

Műveletek

Alapműveletek

Összeadás:

${\displaystyle (a+b\varepsilon )+(c+d\varepsilon )=(a+c)+(b+d)\varepsilon \,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c&d\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+c&b+d\\0&a+c\end{pmatrix}}}$

Szorzás:

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+ad\varepsilon +bc\varepsilon +bd\varepsilon ^{2}=ac+(ad+bc)\varepsilon \,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&bc+da\\0&ac\end{pmatrix}}}$

Következmények

Osztás:

${\displaystyle {a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon }={a \over c}+{(cb-ad) \over c^{2}}\varepsilon }$

Csak akkor értelmezett, ha ${\displaystyle c\neq 0\,}$ Ha c = 0, akkor a duális szám nulla, vagy nullosztó, ezért a duális számok nem alkotnak testet. Ha c nulla, de d nem, akkor az

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

egyenlet nem oldható meg, ha a nem nulla, és ha nulla, akkor bármely

${\displaystyle {b \over d}+{y\varepsilon }}$

duális szám megoldás. Így a tisztán duális számok triviális nullosztók, és ideált alkotnak a duális számok gyűrűjében.

Gyökvonás:

${\displaystyle {\sqrt {a+b\varepsilon }}={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}b\varepsilon }$

Csak akkor értelmezett, ha ${\displaystyle a>0\,}$

Definíciók

Konjugáció:

${\displaystyle a+b\varepsilon \mapsto a-b\varepsilon }$

${\displaystyle z}$ konjugáltjának jele ${\displaystyle z*}$

Algebrai tulajdonságok

A duális számok a fenti definíciókkal kommutatív egységelemes gyűrűt és a valós számok felett algebrát alkotnak. Karakterisztikájuk 0. Algebrájuk kétdimenziós a valós számok fölött. A valós számokkal szemben a duális számok nem alkotnak testet. Ennek akadályai a nullosztók: a 0 + bε alakú elemeknek nem lehet inverzük.

Geometria

Az egységkört azok a duális számok alkotják, ahol a = 1 vagy −1, mivel z z* = 1 ahol z* = a − bε. Ezzel szemben

${\displaystyle \exp(b\varepsilon )=\left(\sum _{n=0}^{\infty }(b\varepsilon )^{n}/n!\right)=1+b\varepsilon }$,

így az ε tengelyre alkalmazott exponenciális leképezés csak a kör felét fedi.

Legyen z = a + b ε! Ha a ≠ 0 és m = b /a, akkor z = a(1 + m ε) a z duális szám, és az m meredekség az argumentuma. A forgatás a duális számsíkon tengelypárhuzamos nyírás, mivel (1 + p ε)(1 + q ε) = 1 + (p+q) ε.

Az abszolút téridőben a

${\displaystyle (t',x')=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$ azaz ${\displaystyle \ \ t'=t,\ \ x'=vt+x,}$

Galilei-transzformáció a nyugvó koordináta-rendszert a v sebességű mozgó kerettel hozza kapcsolatba. Az egydimenziós tér eseményeit reprezentáló t + x ε duális szám ugyanezt a (1 + v ε)-nal való szorzással fejezi ki.

Adott p és q duális számok meghatározzák a duális számoknak egy halmazát, amiben az egyes elemektől a p és q számokhoz húzott egyenes szakaszok meredeksége konstans. A duális számok síkján ez kör. Mivel az egyenlet, ami konstanssá teszi a meredekségeket, kvadratikus a valós részben, ezek a körök esetleg elfajult parabolák. A ciklikus forgatás a duális számokon egy projektív egyenes mozgásának feleltethető meg. Yaglom szerint^[1] a Z = {z : y = α x²} kör invariáns az

${\displaystyle x_{1}=x,\ \ y_{1}=vx+y}$ nyírás és az

${\displaystyle x'=x_{1}=v/2a,\ \ y'=y_{1}+v^{2}/4a}$ eltolás kompozíciójára.

Ez a transzformáció ciklikus forgatás, amivel V. V. Kisil bővebben foglalkozott.^[2]

Duális számok és függvények

A duális számokon értelmezhetjük az egész kitevőjű hatványozást, így a polinomokat is.

Ha adott egy ${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+...+p_{n}x^{n}}$ polinom, akkor ezt alkalmazhatjuk egy duális számra. Észrevehetjük, hogy ${\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon \,}$, ahol ${\displaystyle P^{\prime }}$ a ${\displaystyle P}$ deriváltja.^[3]

Ezt a polinomokról kiterjeszthetjük az valós analitikus függvényekre:
${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf^{\prime }(a)\varepsilon }$

A deriváltak megjelenését az a tulajdonság indokolja, hogy az ${\displaystyle \varepsilon }$ hasonlóan viselkedik, mint a nemstandard analízisben a végtelenül kicsi mennyiségek, hiszen a négyzetével nem kell tovább számolni, elhagyható.

Néhány függvény a duális számokon

${\displaystyle \sin(a+b\varepsilon )=\sin(a)+b\cos(a)\varepsilon \,}$
${\displaystyle \cos(a+b\varepsilon )=\cos(a)-b\sin(a)\varepsilon \,}$
${\displaystyle e^{(a+b\varepsilon )}=e^{a}(1+b\varepsilon )\,}$
${\displaystyle ln(a+b\varepsilon )=ln(a)+{b \over a}\varepsilon \,}$

Modulus és argumentum

A komplex számokhoz hasonlóan a duális számokon is értelmezhető a modulus és az argumentum fogalma. A modulust határozzuk meg a konjugált fogalmával:
${\displaystyle \rVert a+b\varepsilon \lVert ={\sqrt {(a+b\varepsilon )(a-b\varepsilon )}}=a}$
Ez összhangban van azzal, hogy ${\displaystyle \varepsilon }$ bizonyos értelemben kicsi.

Az argumentum legyen
${\displaystyle \arg(a+b\varepsilon )={\frac {b}{a}}}$
Így a komplexekkel analóg módon
${\displaystyle z=\rVert z\lVert e^{\varepsilon \arg(z)}}$

Megmarad az a tulajdonság is, hogy szorzásnál az eredmény modulusa az eredeti modulusok szorzata és az eredmény argumentuma az eredeti argumentumok összege.

Projektív egyenes

A duális számok fölötti projektív egyenessel Grünwald^[4] és Corrado Segre.^[5] foglalkozott behatóbban.

Ahogy a Riemann-gömbhöz szükség van egy plusz pontra, hogy bezárja a gömböt az Északi-sarkon, úgy a duális számokhoz egy egyenes kell, hogy a duális számok síkjából hengert csináljon.^[6]

Tegyük fel, hogy D az x + y ε alakú duális számok gyűrűje! Legyen ennek U az a részhalmaza, hogy x ≠ 0, ez az egységek csoportja D-ben. Legyen B = {(a,b) ∈ D x D : a ∈ U vagy b ∈ U}. Definiáljuk a ~ relációt a következőképpen: Legyen (a,b) ~ (c,d), ha van u ∈ U, hogy ua=c és ub=d. Ez egy ekvivalenciareláció, és osztályai éppen a duális számok fölötti projektív egyenes pontjai: P(D) = B/ ~.

Tekintsük most a D → P(D) beágyazást, ahol 'z → U(z,1), és U(z,1) a (z,1) ekvivalenciaosztálya! Ekkor az U(1,n), n² = 0 pontok P(D)-beliek, de nem képei a beágyazásnak. Most P(D)-t arra a hengerre vetítjük, ami a {y ε: y ∈ ℝ}, ε² = 0 egyenesben érinti a síkot. Az átellenes egyenest egy síksor tengelyeként kezeljük. Amely síkok metszik a duális számok síkját és a hengert, azok megfeleltetést adnak a két metszésvonal pontjai között. A duális számok síkjával párhuzamos sík a duális számok síkjának U(1,n), n² = 0 pontjainak felel meg a duális számok fölötti projektív egyenesen.

Általánosítás

A duális számok megfelelői bármely kommutatív gyűrű fölött definiálhatók, mint az R[X] polinomgyűrű és az (X²) ideál hányadosa. Ekkor az X ez ε szerepét tölti be. Ezek a gyűrűk fontos szerepet töltenek be a deriválás algebrai elméletében és a tisztán algebrai differenciálformák, a Kähler-differenciálok elméletében.

Gyűrű fölött az a + bε duális elem egység, azaz invertálható akkor és csak akkor, ha a is egység az eredeti gyűrűben. Ekkor a + bε inverze a⁻¹ − ba⁻²ε. Emiatt test vagy kommutatív lokális gyűrű fölött a duális elemek lokális gyűrűt alkotnak; maximális ideálja az ε által generált főideál.

Egy másik, szűkebb lehetőség az általánosításra n, egymással antikommutáló generátor bevezetése. Ezek a Grassmann-számok.

Alkalmazások

A fizikában a duális számok jelentik a legegyszerűbb szuperteret. Ekvivalensen, egygenerátoros szuperszámok, ahol is szuperszámokon a Grassmann-számokat értik, de ahol n végtelen is lehet. A szuperterek ezt általánosítják tovább, megengedve felcserélhető generátorokat is.

A duális számok bevezetése a fizikába a Pauli-féle kizárási elven múlik, mivel a fermionok összes kvantumszáma nem egyezhet meg, nem lehetnek ugyanabban az állapotban egy atomban vagy molekulában. Az ε szerinti irány a fermion, az 1 iránya a bozon irány. Ha a koordinátákat felcseréljük, akkor a kvantummechanikai hullámfüggvény előjelet vált, emiatt ha a két koordináta egyenlő, akkor nulla. A kizárási elv abban is kifejeződik, hogy ε² = 0.

Jegyzetek

1. Isaak Yaglom: A simple non-euclidean geometry and its physical basis (1979) pp. 92,3
2. V.V. Kisil (2007) "Inventing a Wheel, the Parabolic One" arXiv:0707.4024
3. Például ${\displaystyle (a+b\varepsilon )^{3}=a^{3}+3a^{2}b\varepsilon +3a(b\varepsilon )^{2}+\varepsilon ^{3}=a^{3}+3a^{2}b\varepsilon \,}$
4. Josef Grünwald (1906) "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Monatshefte für Mathematik 17: 81–136
5. Corrado Segre (1912) "Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali", Paper XL of Opere, also Atti della R. Academia della Scienze di Torino, vol XLVII.
6. I. M. Yaglom (1979) A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis, pp 149–53, Springer, ISBN 0387-90332-1, MR520230

Források

• Bencivenga, Ulderico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR0021123.
• William Kingdon Clifford (1873) Preliminary Sketch of Bi-quaternions, Proceedings of the London Mathematical Society 4:381–95
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118–29.
• William Miller & Rochelle Boehning (1968) "Gaussian, Parabolic and Hyperbolic Numbers", The Mathematics Teacher 61(4): 377–82.
• Eduard Study (1903) Geometrie der Dynamen, page 196, from Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, pp 12–18, Academic Press.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dual number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap