Formális hatványsor

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához.

Definíció

A formális hatványsorok éppen úgy végtelen összegek, mint a nem formálisak. A műveleteket is ugyanúgy végezzük rajtuk, mint a valódi hatványsorokon. A konvergenciával azonban nem foglalkozunk.

Összeadás:

${\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n},}$

ahol a_n és b_n gyűrűelem.

Skalárral szorzás:

${\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n},}$

ahol c gyűrűelem.

Szorzás:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}}$

ahol minden együttható gyűrűelem

Ekvivalens definíció

Legyen ${\displaystyle R=\left(U,+,\times \right)}$ tetszőleges gyűrű, és tekintsük az ${\displaystyle R}$ feletti ${\displaystyle R_{\mathbb {N} }=\left\{\left(r_{n}\right)^{n\in \mathbb {N} }\ |\ r\in R\right\}}$ végtelen ${\displaystyle \left(r_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(r_{0},r_{1},r_{2},r_{3},....\right)}$ sorozatok halmazát (megjegyzés, ${\displaystyle K^{D}}$-vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát ${\displaystyle R_{\mathbb {N} }}$ felett két kétváltozós ${\displaystyle \oplus }$ és ${\displaystyle \otimes }$ műveletet a következőképpen:

• ${\displaystyle \oplus :R^{\mathbb {N} }\times R^{\mathbb {N} }\mapsto R^{\mathbb {N} };(r_{i})_{i\in \mathbb {N} }\oplus (s_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(r_{i}+s_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
• A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: ${\displaystyle \otimes :R^{\mathbb {N} }\times R^{\mathbb {N} }\mapsto R^{\mathbb {N} };(r_{i})_{i\in \mathbb {N} }\otimes (s_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(\sum _{j=0}^{i}r_{j}s_{i-j})_{i\in \mathbb {N} }}$.

Belátható, hogy ezek a műveletek éppen a fenti műveleteknek felelnek meg.

A ${\displaystyle K[[x]]:=\left(R^{\mathbb {N} },\oplus ,\otimes \right)}$ algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az ${\displaystyle R}$ feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

Polinomok

A polinomok véges összegként definiálhatók. A hatványsorok közül éppen azok polinomok, amelyekben csak véges sok együttható nem nulla. A legnagyobb indexű nem nulla együttható indexe a polinom foka. A nullpolinom fokát nem definiáljuk.

Ha egy ${\displaystyle \left(s_{i}\right)\in R^{\mathbb {N} }}$ sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexű tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát ${\displaystyle E\left(\left(s_{i}\right)\right)=\left\{j\in \mathbb {N} \ |\forall k\in \mathbb {N} :j\leq k\Rightarrow s_{k}=0\right\}\subseteq \mathbb {N} }$-vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.

Tulajdonságok

• A véges testek fölötti egyhatározatlanú formális hatványsorok gyűrűt alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
• Gyűrű feletti polinomgyűrű, és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerre kommutatív, egységelemes vagy nullosztómentes, ha az alapgyűrű is az
• Ha s egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, akkor ${\displaystyle (x^{k}\mathbf {s} )_{i}=0}$, ha i > k, és ${\displaystyle (x^{k}\mathbf {s} )_{i}=\mathbf {s} _{i-k}}$, ha ${\displaystyle k\leq i\in \mathbb {N} _{0}}$
• Az egyhatározatlanú formális hatványsorok gyűrűje egyben modulus is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkor unitér, ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkor vektortér, ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkor algebra, ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
• Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan, ferdetest feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
• Hatványsor akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
• Ha az alapgyűrű test, akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
• Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei ${\displaystyle x^{u}\mathbf {s} }$ alakúak, ahol u egész. Ez a test az alaptest fölötti Laurent-sorok teste

Források

Gonda, János. Véges testek (PDF) [2011]. Hozzáférés ideje: 2015. október 7. 

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap