Giuga-számok

A számelmélet területén a Giuga-számok olyan összetett n számok, melyek különböző p_i prímtényezőire mind igaz, hogy ${\displaystyle p_{i}|({n \over p_{i}}-1)}$, vagy ami ezzel ekvivalens, minden különböző p_i prímtényezőre ${\displaystyle p_{i}^{2}|(n-p_{i})}$.

A Giuga-számokat a kevéssé ismert Giuseppe Giuga olasz matematikusról nevezték el, a prímszámokkal kapcsolatos Agoh–Giuga-sejtéshez kapcsolódnak.

Definíciók

A Giuga-számok Takashi Agoh által megadott alternatív definíciója szerint egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a

${\displaystyle nB_{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$

kongruencia teljesül, ahol B egy Bernoulli-szám, ${\displaystyle \varphi (n)}$ pedig az Euler-függvény.

Giuseppe Giuga a fentivel ekvivalens megfogalmazása szerint: egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}i^{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$

kongruencia teljesül, továbbá teljesül, hogy

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N} .}$

Az eddig ismert n Giuga-számok valójában a következő erősebb feltételt is kielégítik:

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}=1.}$

Példák

A Giuga-számok sorozata így kezdődik:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, … (A007850 sorozat az OEIS-ben).

Például a 30 Giuga-szám, mivel prímtényezői 2, 3 és 5, melyekre igazak a következők:

• 30/2 − 1 = 14, ami osztható 2-vel,
• 30/3 − 1 = 9, ami osztható 3-mal és
• 30/5 − 1 = 5, ami osztható 5-tel.

Tulajdonságai

A Giuga-számok prímtényezőinek különbözőknek kell lenniük. Ha ${\displaystyle p^{2}}$ osztója ${\displaystyle n}$-nek, abból következik hogy ${\displaystyle {n \over p}-1=m-1}$, ahol az ${\displaystyle m=n/p}$ szám osztható ${\displaystyle p}$-vel. Ezért ${\displaystyle m-1}$ nem lenne osztható ${\displaystyle p}$-vel, így tehát ${\displaystyle n}$ nem Giuga-szám.

A fentiek szerint kizárólag négyzetmentes számok lehetnek Giuga-számok. Például a 60 prímtényezői 2, 2, 3 és 5, továbbá 60/2 − 1 = 29, ami nem osztható 2-vel. Ezért a 60 nem Giuga-szám.

A prímszámok négyzetei tehát ki vannak zárva, de a diszkrét félprímek sem lehetnek Giuga-számok. Mivel ha ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}}$ és ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$ pímszámok, akkor ${\displaystyle {n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}}$, tehát ${\displaystyle p_{2}}$ nem lesz osztója ${\displaystyle {n \over p_{2}}-1}$-nek, ezért ${\displaystyle n}$ nem Giuga-szám.

Az összes ismert Giuga-szám páros. Ha létezik páratlan Giuga-szám, legalább 14 prímszám szorzataként kell előállnia. Nem ismert, hogy létezik-e végtelen sok Giuga-szám.

Paolo P. Lava (2009) sejtése szerint a Giuga-számok az n' = n+1 differenciálegyenlet megoldásai, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Négyzetmentes számokra ${\displaystyle n=\prod _{i}{p_{i}}}$, ${\displaystyle n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}}$, tehát n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)

José Mª Grau és Antonio Oller-Marcén megmutatták, hogy egy n egész akkor és csak akkor Giuga-szám, ha valamely a > 0-ra kielégíti az n' = a·n + 1 differenciálegyenletet, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Itt is igaz, hogy n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)

Kapcsolódó szócikkek

• Carmichael-számok
• Elsődleges áltökéletes számok

Irodalom

• Weisstein, Eric W.: Giuga Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• (1996) „Giuga's Conjecture on Primality”. American Mathematical Monthly 103, 40–50. o. [2005. május 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.2307/2975213. (Hozzáférés: 2005. május 31.) 
• Centotre curiosità matematiche. Milan: Hoepli Editore, 129. o. (2010). ISBN 978-88-203-4556-3