Gompertz-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).

Tulajdonságok

Valószínűség-sűrűségfüggvény

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta e^{bx}e^{\eta }\exp \left(-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}$

ahol ${\displaystyle b>0\,\!}$ a skálaparaméter, és ${\displaystyle \eta >0\,\!}$ az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvény

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}$

ahol ${\displaystyle \eta ,b>0,}$ és ${\displaystyle x\geq 0\,.}$

Momentumgeneráló függvény

${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$

ahol

${\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}$

A függvény alakja

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter (${\displaystyle \eta \,\!}$) értékétől függően:

• Ha ${\displaystyle \eta \geq 1,\,}$, a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
• Ha ${\displaystyle 0<\eta <1,\,}$ a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0,632121}$

Kapcsolódó eloszlások

• Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
• A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert ${\displaystyle b\,\!.}$ skálaparaméterrel.
• Amikor ${\displaystyle \eta \,\!}$ a gamma-eloszlás szerint változik, ${\displaystyle \alpha \,\!}$ alakparaméterrel, és ${\displaystyle \beta \,\!}$ skálaparaméterrel, akkor az ${\displaystyle x}$ eloszlása Gamma/Gompertz.

Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény

Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas: Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB. (hely nélkül): Cergy-Pontoise: ESSEC Business School. 2011.  
• Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Gompertz-függvény
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény