Gyökkritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Gyökkritérium: Ha van olyan 0<q < 1 szám, amelyre ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<q}$ teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ sor abszolút konvergens, vagyis konvergens is, hiszen az abszolút konvergenciából következik a konvergencia.

Bizonyítás: A feltétel szerint ${\displaystyle |a_{n}|<q^{n}}$ minden elég nagy n-re. Mivel a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}}$ sor konvergens, ha 0<q < 1, így alkalmazható a majoráns kritérium és épp a bizonyítandó állítást kapjuk.

Források

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978 963 19 6084 6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963 190 114 9

Kapcsolódó szócikkek

• Hányadoskritérium

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap