Hermite–Hadamard-egyenlőtlenség

A matematikai analízis nevezetes Hermite–Hadamard-egyenlőtlensége Charles Hermite és Jacques Hadamard matematikusokról kapta nevét. Az egyenlőtlenség azt állítja, hogy amennyiben ƒ : [a, b] → R konvex függvény, akkor

${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Geometriailag az egyenlőtlenség azt állítja, hogy a konvex f függvény [a,b] intervallumon számított integrálja (vagyis az f grafikonja alatti terület) nagyobb vagy egyenlő, mint a b-a és f((a+b)/2) méretekkel rendelkező téglalap területe, valamint kisebb vagy egyenlő az (a,0);(a,f(a));(b,f(b));(b,0) csúcsokkal rendelkező trapéz területénél. Az egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha f lineáris függvény. A fenti egyenlőtlenség ekvivalens f Jensen konvexitásával.

Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyik legtermészetesebb általánosítása Retkes Zoltán nevéhez fűződik. Ahhoz, hogy az általános eredményt meg tudjuk fogalmazni, be kell vezetni az f iterált integráljainak fogalmát. Valójában ez a fogalom a deriválás negatív egész kitevőjű kiterjesztése. Az antiderivált kifejezés így nyer értelmet.

Az iterált integrálok sorozata

Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, és legyen f:[a,b]→ℝ integrálható valós függvény [a,b]-n. A fenti feltételek mellett az f iterált integráljainak sorozatát a következőképp definiáljuk az a≤s≤b értékekre:

${\displaystyle F^{(0)}(s):=f(s),\ }$

${\displaystyle F^{(1)}(s):=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)du,}$

${\displaystyle F^{(2)}(s):=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)du\right)dt,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle F^{(n)}(s):=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)du,}$

${\displaystyle \vdots }$

Példa 1

Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)≡1. Ekkor a konstans 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és

${\displaystyle F^{(0)}(s)=1,\ }$

${\displaystyle F^{(1)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{0}^{s}1du=s,}$

${\displaystyle F^{(2)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{0}^{s}udu={s^{2} \over 2},}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle F^{(n)}(s):=\int _{0}^{s}{u^{n-1} \over (n-1)!}du={s^{n} \over n!},}$

${\displaystyle \vdots }$

Példa 2

Legyen [a,b]=[-1,1] és f(s)≡1. Ekkor az 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [-1,1]-en, és

${\displaystyle F^{(0)}(s)=1,\ }$

${\displaystyle F^{(1)}(s)=\int _{-1}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{-1}^{s}1du=s+1,}$

${\displaystyle F^{(2)}(s)=\int _{-1}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{-1}^{s}(u+1)du={s^{2} \over 2!}+{s \over 1!}+{1 \over 2!}={(s+1)^{2} \over 2!},}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle F^{(n)}(s)={s^{n} \over n!}+{s^{(n-1)} \over {(n-1)!1!}}+{s^{(n-2)} \over (n-2)!2!}+\dots +{1 \over n!}={(s+1)^{n} \over n!},}$

${\displaystyle \vdots }$

Példa 3

Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)=e^s. Ekkor az f függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és

${\displaystyle F^{(0)}(s)=e^{s},\ }$

${\displaystyle F^{(1)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{0}^{s}e^{u}du=e^{s}-1,}$

${\displaystyle F^{(2)}(s)=\int _{0}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{0}^{s}(e^{u}-1)du=e^{s}-s-1,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle F^{(n)}(s)=e^{s}-\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {s^{i}}{i!}}}$

${\displaystyle \vdots }$

Tétel (Retkes-egyenlőtlenség)

Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, legyen f:[a,b]→R konvex függvény, a<x_i<b, i=1,...,n olyanok, hogy x_i≠x_j, ha i≠j. Ekkor a következő egyenlőtlenség áll fenn:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},...,x_{n})}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}$

ahol

${\displaystyle \Pi _{i}(x_{1},...,x_{n}):=(x_{i}-x_{1})(x_{i}-x_{2})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n}),\ \ i=1,...,n.}$

A konkáv esetben ≤ helyett ≥ érvényes.

Megjegyzés 1. Ha f szigorúan konvex, akkor ≤ helyett < érvényes, valamint egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f lineáris.

Megjegyzés 2. Az egyenlőtlenség a következő értelemben éles: legyenek ${\displaystyle {\underline {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \alpha =(\alpha ,\ldots ,\alpha )}$ és ${\displaystyle \ a<\alpha <b.}$

Ekkor a bal oldal határértéke létezik és

${\displaystyle \lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}}$

Alkalmazások (Retkes-azonosságok)

A Retkes-egyenlőtlenség egyik legfontosabb alkalmazása a következő: legyen ${\displaystyle f(u)=u^{\alpha },0\leq u<\infty }$ és ${\displaystyle 0\leq \alpha }$. Ekkor az iterált integrálokra

${\displaystyle F^{(n-1)}(s)={\frac {s^{\alpha +n-1}}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \ldots \cdot (\alpha +n-1)}}}$

Mivel ${\displaystyle \quad f}$ szigorúan konvex, ha ${\displaystyle \quad \alpha >1}$, szigorúan konkáv, ha ${\displaystyle \quad 0<\alpha <1}$, valamint lineáris az ${\displaystyle \quad \alpha =0,1}$ esetekben, így az alábbi egyenlőtlenségek, illetve azonosságok állnak fenn:

• ${\displaystyle \quad 1<\alpha \quad \quad \quad \quad {\frac {1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \ldots \cdot (\alpha +n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{\alpha +n-1}}{\Pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}<{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}$

• ${\displaystyle \quad \alpha =1\quad \quad \quad \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

• ${\displaystyle \quad 0<\alpha <1\quad \quad {\frac {1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \ldots \cdot (\alpha +n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{\alpha +n-1}}{\Pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}>{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}$

• ${\displaystyle \quad \alpha =0\quad \quad \quad \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n-1}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=1}$

Az ${\displaystyle \quad \alpha =1}$ esetből következik a Retkes-konvergenciakritérium, hiszen az azonosság jobb oldalán éppen a ${\displaystyle \quad \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ sor n-edik részletösszege áll.Tegyük fel a továbbiakban, hogy ${\displaystyle x_{k}\neq 0\quad k=1,\ldots ,n}$. Ekkor a második és negyedik azonosságban ${\displaystyle \quad x_{k}}$ helyett ${\displaystyle \quad {\frac {1}{x_{k}}}}$-t helyettesítve kapunk két új algebrai azonosságot. Az így nyerhető négy azonosságot nevezzük Retkes-azonosságoknak, melyek a következők:

• ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

• ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{n-1}}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots \,x_{n})}}=1}$

• ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=(-1)^{n-1}\prod _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{{x_{i}}^{2}\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$

• ${\displaystyle \quad \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=(-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$

Források

• Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
• Zoltán Retkes, "Applications of the extended Hermite–Hadamard inequality", Journal of Inequalitites in Pure and Applied Mathematics (JIPAM), Vol 7, issue 1, article 24, (2006)
• Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.

További információk

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap