Háromszögű négyzetszámok

A 36 háromszögű négyzetszám háromszögszám- és négyzetszám-felírásában.

A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok. Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (A001110 sorozat az OEIS-ben).

Explicit képletek

Jelölje ${\displaystyle N_{k}}$ a ${\displaystyle k}$-adik háromszögű négyzetszámot, ${\displaystyle s_{k}}$ és ${\displaystyle t_{k}}$ pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}}$.

Legyen egy ${\displaystyle N={\frac {n(n+1)}{2}}}$ háromszögszám háromszöggyöke ${\displaystyle n}$. A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan ${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}}$. Ezért ${\displaystyle N}$ akkor és csak akkor háromszögszám, ha ${\displaystyle 8N+1}$ négyzetszám, és természetesen ${\displaystyle N^{2}}$ akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha ${\displaystyle 8N^{2}+1}$ négyzetszám, tehát ha léteznek olyan ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ egész számok, melyekre ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$. Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol ${\displaystyle n=8}$. Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Ha ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ jelöli adott ${\displaystyle n}$-re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy ${\displaystyle x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}}$ és ${\displaystyle y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}}$. Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás ${\displaystyle n=8}$-ra könnyen megtalálható: (3,1). Az ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ megoldás az ${\displaystyle n=8}$ Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével: ${\displaystyle s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},}$ és ${\displaystyle N_{k}=y_{k}^{2}}$. Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.

Az N_k, s_k és t_k sorozatok az OEIS-ben itt találhatók:  A001110,  A001109, illetve  A001108.

1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet:^{[1] [2]}

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}}$.

A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right)\end{aligned}}}$.

A megfelelő explicit képletek ${\displaystyle s_{k}}$-ra és ${\displaystyle t_{k}}$-ra nézve:^[2]

${\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}$

és

${\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}}$.

Pell-egyenlet

A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására.^[3] Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$.

Némi átalakítással:

${\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}$

majd helyettesítve ${\displaystyle x=2t+1}$ és ${\displaystyle y=2s}$-et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a ${\displaystyle P_{k}}$ Pell-számok a következőképpen oldják meg:^[4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k}}$;

ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}}$.

Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.

Rekurrencia-relációk

A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek^[5]

${\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2}$, ahol ${\displaystyle N_{0}=0{\text{ és }}N_{1}=1}$;

${\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2}}$, ahol ${\displaystyle N_{0}=0{\text{ és }}N_{1}=1}$.

Továbbá^[1][2]

${\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2}}$, ahol ${\displaystyle s_{0}=0{\text{ és }}s_{1}=1}$;

${\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2}$, ahol ${\displaystyle t_{0}=0{\text{ és }}t_{1}=1}$.

Más karakterizációk

Minden háromszögű négyzetszám felírható ${\displaystyle b^{2}c^{2}}$ alakban, ahol ${\displaystyle b/c}$ konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.^[6]

A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:^[7]

Ha az ${\displaystyle n(n+1)/2}$ háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}}$ háromszögszám is négyzetszám.

Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő: ${\displaystyle 2^{2}}$ (a kitevő alapján), ${\displaystyle (n(n+1))/2}$ (az ${\displaystyle n}$-edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és ${\displaystyle (2n+1)^{2}}$ (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.

A ${\displaystyle t_{k}}$ háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát, ${\displaystyle 49=7^{2}=2\cdot 5^{2}-1\quad 288=17^{2}-1=2\cdot 12^{2}}$ és ${\displaystyle 1681=41^{2}=2\cdot 29^{2}-1}$. Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja: ${\displaystyle s_{k}:5\cdot 7=35,12\cdot 17=204}$ és ${\displaystyle 29\cdot 41=1189}$.

${\displaystyle N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1}:36-1=35,1225-36=1189}$ és ${\displaystyle 41616-1225=40391}$. Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.

A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:^[8]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$.

Numerikus adatok

Ahogy ${\displaystyle k}$ értéke egyre nő, a ${\displaystyle t_{k}/s_{k}}$ arány egyre jobban megközelíti a ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,41421}$-t, az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33,97056}$-t. Az alábbi táblázat bemutatja ${\displaystyle k}$ értékeit 0 és 7 között.

${\displaystyle k}$	${\displaystyle N_{k}}$	${\displaystyle s_{k}}$	${\displaystyle t_{k}}$	${\displaystyle t_{k}/s_{k}}$	${\displaystyle N_{k}/N_{k-1}}$
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,33333	36
3	1225	35	49	1,4	34,02778
4	41 616	204	288	1,41176	33,97224
5	1 413 721	1189	1681	1,41379	33,97061
6	48 024 900	6930	9800	1,41414	33,97056
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1,41420	33,97056

Jegyzetek

1. History of the Theory of Numbers. Providence: American Mathematical Society, 16. o. [1920] (1999). ISBN 978-0-8218-1935-7 
2. Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (latin nyelven). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4, 3–17. o. (Hozzáférés: 2009. május 11.) „According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.” 
3. Pell's Equation, Problem Books in Mathematics. New York: Springer, 16–17. o. (2003). ISBN 978-0-387-95529-2. Hozzáférés ideje: 2009. május 10. 
4. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford University Press, 210. o. (1979). ISBN 0-19-853171-0 „Theorem 244” 
5. Weisstein, Eric W.: Square Triangular Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
6. Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications, 59. o. (1987). ISBN 978-0-486-25357-2 
7. Pietenpol, J. L. (1962. február 1.). „Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers”. American Mathematical Monthly 69 (2), 168–169. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2312558. JSTOR 2312558. 
8. Plouffe, Simon: 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, 1992. augusztus 1. [2013. február 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. május 11.)

További információk

• Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W.: Square Triangular Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Michael Dummett's solution