Jung-tétel

A geometria területén a Jung-tétel bármely euklideszi tér egy ponthalmazának átmérője és a ponthalmazt magában foglaló legkisebb gömb sugara közötti egyenlőtlenség. Heinrich Jungról nevezték el, aki 1901-ben elsőként tanulmányozta.

Állítás

Tekintsünk egy kompakt halmazt:

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

és legyen

${\displaystyle d=\max \nolimits _{p,q\in K}\|p-q\|_{2}}$

a K átmérője, azaz a bármely két pont közötti legnagyobb mért euklideszi távolság. A Jung-tétel állítása szerint létezik olyan zárt gömb(test), melynek sugara

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},}$

és tartalmazza K-t. Az egyenlőség a szabályos n-szimplex esetében áll fenn.

Jung-tétel a síkban

A leggyakrabban említett eset a Jung-tétel a síkban, tehát amikor n = 2. Ebben az esetben a tétel azt állítja, hogy a síkban bármely d átmérőjű véges ponthalmaz lefedhető egy körlemezzel, melynek sugara:

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Nem létezik élesebb korlát az r-re: ha a ponthalmaz egy szabályos háromszög (illetve annak csúcsai), akkor

${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Általános metrikus terek

Bármely metrikus tér tetszőleges korlátos S ponthalmazára igaz, hogy d/2 ≤ r ≤ d. Az első egyenlőtlenség a gömb középpontja és valamely átmérő két pontja közötti háromszög-egyenlőtlenségből adódik, a második pedig abból, hogy egy d sugarú gömb(test), melynek középpontja S bármely pontjában van, tartalmazni fogja a teljes S halmazt. Egy uniform metrikus térben, melyben minden távolság egyenlő, r = d. A spektrum másik végén, az olyan injektív metrikus terekben, mint amilyen a síkbeli Manhattan-távolság, r = d/2: bármely két, d/2 sugarú gömbnek, melynek S valamely pontjában van a középpontja, létezik nem üres metszete, és ennek a metszetnek valamely pontját középpontnak választva egy d/2 sugarú gömb(test) tartalmazza S összes pontját. A Jung-tételnek különböző nemeuklideszi geometriákra léteznek változatai (lásd pl. Dekster 1995, 1997).

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Jung's theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Katz, M. (1985). „Jung's theorem in complex projective geometry”. Quart. J. Math. Oxford 36 (4), 451–466. o. DOI:10.1093/qmath/36.4.451. 
• Dekster, B. V. (1995). „The Jung theorem for the spherical and hyperbolic spaces”. Acta Math. Sci. Hungar. 67 (4), 315–331. o. DOI:10.1007/BF01874495. 
• Dekster, B. V. (1997). „The Jung theorem in metric spaces of curvature bounded above”. Proceedings of the American Mathematical Society 125 (8), 2425–2433. o. DOI:10.1090/S0002-9939-97-03842-2. 
• Jung, Heinrich (1901). „Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt” (in German). J. Reine Angew. Math. 123, 241–257. o. 
• Jung, Heinrich (1910). „Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt” (in German). J. Reine Angew. Math. 137, 310–313. o. 
• The Enjoyment of Mathematics. Dover, chapter 16. o. (1990). ISBN 978-0-486-26242-0 

További információk

• Weisstein, Eric W.: Jung's Theorem (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap