Katenoid

Katenoid

A katenoid egy felület a 3 dimenziós euklideszi térben, ami a láncgörbének a saját vezéregyenese körüli elforgatásával jön létre. A síkot nem számítva, ez az elsőként felfedezett minimálfelület. Minimálfelület voltát Leonhard Euler állapította meg és igazolta 1744-ben.^[1] Jean Baptiste Meusnier publikációja ugyancsak az e témával foglalkozó korai munkák közé tartozik.^[2] Csak két minimál-forgásfelület (forgásfelület, ami egyben minimálfelület is) létezik: a sík és a katenoid.^[3]

A katenoid a klasszikus Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi paraméteres egyenletekkel definiálható:

${\displaystyle x=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u}$

${\displaystyle y=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u}$

${\displaystyle z=v}$

ahol u és v valós paraméterek, c egy nem nulla értékű valós állandó.

Hengerkoordináta-rendszerben:

${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}}}$

ahol c egy valós állandó.

A katenoid fizikai modellje létrehozható úgy, hogy két kör alakú drótot szorosan egymás mellett szappanos oldatba mártunk, majd onnan kiemelve lassan távolítani kezdjük egymástól őket.^[4]

Csavarfelület transzformációjaként

Egy animáció ami egy csavarfelület transzformációját mutatja be katenoiddá.

Mivel mind a katenoid, mind pedig a csavarfelület elemei az úgynevezett Bonnet családnak, így egy katenoid „hajlítással” átvihető egy rész-csavarfelületbe, nyújtás nélkül. Vagyis létezik olyan (majdnem) folytonos és egybevágósági transzformációja bármely kateonidnak egy rész-csavarfelületre, amelynek deformációs családjának bármely eleme minimálfelület (vagyis az átlagos görbülete zérus). Egy ilyen leképezés egy lehetséges paraméterezése a következő:

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}$

bármely ${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$-re, a deformációs paraméter ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$,

ahol ${\displaystyle \theta =\pi }$ egy jobbcsavaros csavarfelületnek felel meg, ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$ a kateonidnak felel meg, ${\displaystyle \theta =0}$ pedig egy balcsavaros csavarfelületnek felel meg.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Catenoid című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

1. L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
2. Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
3. Catenoid at MathWorld. [2013. december 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. december 28.)
4. Videón megnézhető itt.

Külső hivatkozások

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (angolul)
• "Caténoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (franciául)
• Animated 3D WebGL model of a catenoid (angolul)