Kerületi és középponti szögek tétele

Kerületi és középponti szög

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Bizonyítása

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. eset

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

I. eset

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban ${\displaystyle \alpha }$, a középponti szög pedig ${\displaystyle \omega }$. Az ábrán látható ${\displaystyle BCO}$ háromszög egyenlő szárú, mert ${\displaystyle OC=OB=r}$, ezért ${\displaystyle C}$-nél és ${\displaystyle B}$-nél lévő szöge egyaránt ${\displaystyle \alpha }$. Mivel ${\displaystyle \omega }$ ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz ${\displaystyle \omega =2\alpha }$.

II. eset

II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.

Vegyük fel a ${\displaystyle CO}$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem ${\displaystyle C}$) metszéspontja legyen ${\displaystyle D}$. A ${\displaystyle CD}$ szakasz az ${\displaystyle \alpha }$ kerületi szöget ${\displaystyle \alpha _{1}}$ és ${\displaystyle \alpha _{2}}$ szögekre, ${\displaystyle \omega }$ középponti szöget ${\displaystyle \omega _{1}}$ és ${\displaystyle \omega _{2}}$ szögekre osztja.

Vegyük észre, hogy (a ${\displaystyle C}$-t nem tartalmazó) ${\displaystyle AD}$ és ${\displaystyle BD}$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy ${\displaystyle \omega _{1}=2\alpha _{1}}$, illetve ${\displaystyle \omega _{2}=2\alpha _{2}}$.

Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=2\alpha _{1}+2\alpha _{2}}$, vagyis ${\displaystyle \omega =2(\alpha _{1}+\alpha _{2})=2\alpha }$.

III. eset

A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.

III. eset

Vegyük fel a ${\displaystyle CO}$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem ${\displaystyle C}$) metszéspontja legyen ${\displaystyle D}$. Legyen ${\displaystyle DCA\angle =\alpha _{1}}$, ${\displaystyle DCB\angle =\alpha _{2}}$, ${\displaystyle DOA\angle =\omega _{1}}$ és ${\displaystyle DOB\angle =\omega _{2}}$.

Mivel (a ${\displaystyle C}$-t nem tartalmazó) ${\displaystyle AD}$ és ${\displaystyle BD}$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy ${\displaystyle \omega _{1}=2\alpha _{1}}$, illetve ${\displaystyle \omega _{2}=2\alpha _{2}}$, az első egyenletből a másodikat kivonva:

${\displaystyle \omega =\omega _{2}-\omega _{1}=2\alpha _{2}-2\alpha _{1}=2(\alpha _{2}-\alpha _{1})=2\alpha }$.

IV. eset

IV. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél.

Legyen az ábra szerint ${\displaystyle AB}$ szakasz felezőpontja ${\displaystyle F}$. Ekkor, lévén ${\displaystyle ABO}$ háromszög egyenlő szárú, ${\displaystyle OF}$ szakasz két egyenlő szögre osztja ${\displaystyle \omega }$-t (az ábrán ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}={\frac {\omega }{2}}}$).

Mivel ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \omega _{1}}$ merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért ${\displaystyle \omega =2\alpha }$.

V. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.

V. eset

Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre, ${\displaystyle \alpha }$ derékszög, ezért nyilvánvalóan ${\displaystyle \omega =2\alpha }$.

VI. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.

VI. eset

Legyen a kisebb ${\displaystyle AOB\angle }$ jelölése ${\displaystyle \omega '}$, amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága ${\displaystyle 360}$°${\displaystyle -\omega }$. Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán ${\displaystyle \alpha '}$-vel jelölt szög, ${\displaystyle \alpha }$ kiegészítő szöge; nagysága ${\displaystyle 180}$°${\displaystyle -\alpha }$. A IV. esetben belátottak miatt

${\displaystyle \omega '=2\alpha '}$, vagyis

${\displaystyle 360}$°${\displaystyle -\omega =360}$°${\displaystyle -2\alpha }$, azaz

${\displaystyle \omega =2\alpha }$.

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

Lásd még

• Kerületi szög
• Középponti szög