Kronecker-szorzat

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Definíció

Ha ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ méretű és ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p\times q}$ méretű mátrix, akkor a ${\displaystyle C=A\otimes B}$ Kronecker-szorzat nem más, mint

${\displaystyle C=(a_{ij}\cdot B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}}$

azaz az ${\displaystyle A}$ mátrix minden elemét megszorozzuk a ${\displaystyle B}$ mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete ${\displaystyle mp\times nq.}$

Részletesebben:

${\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}$

Példák

Első példa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}&4\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&6&10&12\\7&8&14&16\\15&18&20&24\\21&24&28&32\end{pmatrix}}}$

Második példa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}}$

Tulajdonságai

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

${\displaystyle A\otimes B\neq B\otimes A}$

Azonban mindig vannak ${\displaystyle P,Q}$ permutációmátrixok, hogy

${\displaystyle A\otimes B=P(B\otimes A)Q}$

Hogyha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ négyzetes, akkor választhatók úgy, hogy ${\displaystyle P=Q^{T}}$ legyen.

A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

${\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C}$

${\displaystyle (B+C)\otimes A=B\otimes A+C\otimes A}$

${\displaystyle \lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)}$

A Kronecker-szorzás asszociatív:

${\displaystyle A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C}$

A transzponáltakra teljesül, hogy:

${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}}$.

A komplex konjugált mátrixra:

${\displaystyle {\overline {A\otimes B}}={\overline {A}}\otimes {\overline {B}}}$.

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

${\displaystyle (A\otimes B)^{*}=A^{*}\otimes B^{*}}$

A Kronecker-szorzat rangja:

${\displaystyle \mathrm {Rang} (A\otimes B)=\mathrm {Rang} (A)\cdot \mathrm {Rang} (B)}$.

Ha ${\displaystyle A}$ mérete ${\displaystyle n\times n}$ és ${\displaystyle B}$ mérete ${\displaystyle m\times m}$, akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

${\displaystyle \det(A\otimes B)={\det }^{m}(A)\,{\det }^{n}(B)}$.

Ha ${\displaystyle (\lambda _{i})_{i=1..n}\,}$ az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle (\mu _{j})_{j=1..m}\,}$ a ${\displaystyle B}$ sajátértékei, akkor

${\displaystyle (\lambda _{i}\,\mu _{j})_{i=1..n \atop j=1..m}}$ az ${\displaystyle A\otimes B}$ mátrix sajátértékei.

Ha ${\displaystyle A,B}$ invertálható, akkor

${\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}}$.

Legyenek ${\displaystyle A,B,C}$ és ${\displaystyle D}$ komplex mátrixok a

• ${\displaystyle A:m\times n}$
• ${\displaystyle B:p\times q}$
• ${\displaystyle C:n\times r}$
• ${\displaystyle D:q\times s}$

dimenziókkal; ekkor léteznek az ${\displaystyle AC}$ és a ${\displaystyle BD}$ szorzatok, és^[1]

${\displaystyle AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D)}$.

A pszeudoinverzekre

${\displaystyle (A\otimes B)^{+}=A^{+}\otimes B^{+}}$.

Általában, ha ${\displaystyle A^{-}}$ és ${\displaystyle B^{-}}$ ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ általánosított inverzei, akkor ${\displaystyle A^{-}\otimes B^{-}}$ az ${\displaystyle A\otimes B}$ általánosított inverze.

Mátrixegyenletek

Adva legyenek az ${\displaystyle A\in \mathrm {Mat} (k\times \ell ),\,B\in \mathrm {Mat} (m\times n),\,C\in \mathrm {Mat} (k\times n)}$ mátrixok, és keressük azt az ${\displaystyle X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)}$ mátrixot, amire ${\displaystyle AXB=C\,}$. Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

${\displaystyle AXB=C\iff (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (C)}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {vec} }$ a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az ${\displaystyle X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)}$ mátrix oszlopait ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},...,{\vec {x}}_{m}}$, ekkor az ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)={\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}}$ egy ${\displaystyle \ell \cdot m}$ hosszú oszlopvektor. Hasonlóan, ${\displaystyle \operatorname {vec} (C)}$ egy ${\displaystyle m\cdot n}$ oszlopvektor.

A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan ${\displaystyle X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)}$, akkor az ${\displaystyle X}$ mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyítása

Teljesül ${\displaystyle AXB=C\iff AX\left({\vec {b}}_{1},...,{\vec {b}}_{n}\right)=\left({\vec {c}}_{1},...,{\vec {c}}_{n}\right)\iff AX{\vec {b_{i}}}={\vec {c_{i}}}\iff {\begin{pmatrix}AX{\vec {b}}_{1}\\\vdots \\AX{\vec {b}}_{n}\end{pmatrix}}=\operatorname {vec} (C)}$

ahol ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A({\vec {x}}_{1},...,{\vec {x}}_{m}){\vec {b}}_{1}\\\vdots \\A({\vec {x}}_{1},...,{\vec {x}}_{m}){\vec {b}}_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A(b_{11}{\vec {x}}_{1}+...+b_{m1}{\vec {x}}_{m})\\\vdots \\A(b_{1n}{\vec {x}}_{1}+...+b_{mn}{\vec {x}}_{m})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A\,b_{11}&\cdots &A\,b_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A\,b_{1n}&\cdots &A\,b_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}=(B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)}$

Mátrix együtthatós egyenletek

Az ${\displaystyle i=1,...,r\,}$ és ${\displaystyle j=1,...,s\,}$ indexekhez legyenek adva az ${\displaystyle A_{ij}\in \mathrm {Mat} (k\times \ell ),\,B_{ij}\in \mathrm {Mat} (m\times n),\,C_{i}\in \mathrm {Mat} (k\times n)}$ mátrixok. Keressük az ${\displaystyle X_{i}\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)}$ mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}X_{1}B_{11}+...+A_{1s}X_{s}B_{1s}&=&C_{1}\\&\vdots &\\A_{r1}X_{1}B_{r1}+...+A_{rs}X_{s}B_{rs}&=&C_{r}\\\end{bmatrix}}}$

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{11}^{T}\otimes A_{11}&\cdots &B_{1s}^{T}\otimes A_{1s}\\\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}^{T}\otimes A_{r1}&\cdots &B_{rs}^{T}\otimes A_{rs}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,X_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,X_{s}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,C_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,C_{r}\end{pmatrix}}}$

Kapcsolat a tenzorszorzással

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti ${\displaystyle \varphi _{1}:V_{1}\longrightarrow W_{1}}$ és ${\displaystyle \varphi _{2}:V_{2}\longrightarrow W_{2}}$ lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

${\displaystyle \varphi _{1}\otimes \varphi _{2}:V_{1}\otimes V_{2}\longrightarrow W_{1}\otimes W_{2}}$ lineáris leképezés

a ${\displaystyle \varphi _{1}\otimes \varphi _{2}(v_{1}\otimes v_{2})=\varphi _{1}(v_{1})\otimes \varphi _{2}(v_{2})}$ -vel vett tenzorszorzatok között.

Hogyha bázist választunk az ${\displaystyle V_{1},W_{1},V_{2}}$ és ${\displaystyle W_{2}}$ tereken, akkor a ${\displaystyle \varphi _{1}}$ lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot ${\displaystyle A}$, és a ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ábrázolását ${\displaystyle B}$! Ekkor az ${\displaystyle A\otimes B}$ Kronecker-szorzat a ${\displaystyle \varphi _{1}\otimes \varphi _{2}}$ tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})}$ a ${\displaystyle V_{1}}$ bázisa, és ${\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots ,f_{p})}$ a ${\displaystyle V_{2}}$ bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a ${\displaystyle (e_{1}\otimes f_{1},e_{1}\otimes f_{2},\ldots ,e_{1}\otimes f_{p},e_{2}\otimes f_{1},\ldots ,e_{n}\otimes f_{p-1},e_{n}\otimes f_{p})}$ bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásai

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.

A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletek

A Tracy‑Singh és a Khatri–Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix m_i × n_j méretű A_ij blokkokra, a B p × q-s mátrix p_k × q_l méretű B_kl blokkokra particionálva, ahol Σ_i m_i = m, Σ_j n_j = n, Σ_k p_k = p és Σ_l q_l = q.

Tracy–Singh-szorzat

A Tracy–Singh-szorzat definíciója:^[2][3]

${\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} )_{ij}=((\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl})_{kl})_{ij}}$

ahol a szorzat ij indexű blokkja az m_i p × n_j q méretű A_ij ○ B mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az m_i p_k × n_j q_l méretű A_ij ⊗ B_kl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.

Példa:

Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

kapjuk, hogy:

${\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c | c }\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]}$

${\displaystyle =\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].}$

Khatri–Rao-szorzat

Bővebben: Khatri–Rao-szorzat

Története

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

Jegyzetek

1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16
2. Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.
3. Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf Archiválva 2011. január 27-i dátummal a Wayback Machine-ben)

Források

• MathWorld: Matrix Direct Product
• Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices.
• Charles F. Van Loan: The ubiquitous Kronecker product. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) 85–100 (online Postscript fájl)