Köbös prímek

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy köbös prím (cuban prime) olyan prímszám, ami a két következő, x és y természetes számok köbre emelését tartalmazó diofantoszi egyenlet egyikének megoldását adja. Az első ilyen egyenlet:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},\ x=y+1,\ y>0}$^[1]

és az ebből levezethető első néhány köbös prím:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, ... (A002407 sorozat az OEIS-ben)

Az így előállítható köbös prímek felírhatók így is: ${\displaystyle {\tfrac {(y+1)^{3}-y^{3}}{y+1-y}}}$, aminek egyszerűbb alakja ${\displaystyle 3y^{2}+3y+1}$. Ez pontosan a középpontos hatszögszámok általános alakja; tehát az összes ilyen köbös prím középpontos hatszögszám.

2006-ban a legnagyobb ilyen prímszám 65537 jegyű volt, ahol az ${\displaystyle y=100000845^{4096}}$.^[2] Ezt a számot Jens Kruse Andersen találta meg.

A második ilyen egyenlet::

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},\ x=y+2,\ y>0.}$^[3]

Ami egyszerűsíthető ${\displaystyle 3y^{2}+6y+4}$ alakra. Ha ${\displaystyle y=n-1}$-et helyettesítjük, felírható egyszerűbben, mint ${\displaystyle 3n^{2}+1,\ n>1}$.

Az első néhány ilyen köbös prím (A002648 sorozat az OEIS-ben):

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313

Általánosítás

Egy általánosított köbös prím a következő formában felírható bármely prímszám:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x>y>0.}$

Valójában ez az összes 3k+1 alakú prímet jelenti.

Kapcsolódó szócikkek

• Köbszámok

Jegyzetek

1. Cunningham, On quasi-Mersennian numbers
2. Caldwell, Prime Pages
3. Cunningham, Binomial Factorisations, Vol. 1, pp. 245-259

• Caldwell, Dr. Chris K., ed., The Prime Database: 3*100000845^8192 + 3*100000845^4096 + 1, University of Tennessee at Martin, <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=76705>. Hozzáférés ideje: June 2, 2012
• Phil Carmody, Eric W. Weisstein and Ed Pegg, Jr.: Cuban Prime (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Cunningham, A. J. C. (1923), Binomial Factorisations, London: F. Hodgson
• Cunningham, A. J. C. (1912), On Quasi-Mersennian Numbers, vol. 41, England: Macmillan and Co., pp. 119–146