Középpontos kilencszögszámok

A középpontos kilencszögszámok a figurális számokon belül a középpontos sokszögszámokhoz tartoznak; olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy pont van, és azt kilenccszög alakú pontrétegek veszik körül. A jobb oldali ábra szemlélteti a középpontos kilencszögszámok generálását. Minden lépésben az olajzöld pontok mutatják a már meglévő pontokat, az új pontok pedig kékek.^[1]

Az n. középpontos kilenccszögszám képlete a következő:

${\displaystyle Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.}$

Az (n − 1)-edik háromszögszámot 9-cel szorozva és 1-et hozzáadva megkapható az n-edik középpontos kilencszögszám, de a középpontos kilencszögszámok még ennél is egyszerűbb kapcsolatba hozhatók a háromszögszámokkal: minden harmadik háromszögszám (az 1., 4., 7. stb.) középpontos kilencszögszám is egyben.^[1]

Így tehát az első néhány középpontos kilencszögszám:^[1]

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946. (A060544 sorozat az OEIS-ben)

A fenti lista tartalmazza a 28 és 496 tökéletes számokat.

Minden páros tökéletes szám páratlan Mersenne-prím indexű háromszögszám.^[2] Mivel minden 3-nál nagyobb Mersenne-prím kongruens 1-gyel modulo 3, ezért minden 6-nál nagyobb páros tökéletes szám középpontos kilencszögszám.

Frederick Pollock(wd) 1850-es sejtése szerint minden természetes szám felírható legfeljebb 11 középpontos kilencszögszám összegeként; sejtését azóta sem igazolni, sem cáfolni nem sikerült.^[3]

Kapcsolódó szócikkek

• Kilencszögszámok
• Középpontos sokszögszámok

Jegyzetek

1. (A060544 sorozat az OEIS-ben)
2. Koshy, Thomas (2014), Pell and Pell–Lucas Numbers with Applications, Springer ISBN 1461484898, 9781461484899, p. 90, <http://books.google.com/books?id=j_9MBQAAQBAJ&pg=PA90>.
3. Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, pp. 22–23, <http://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22>.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap