Logaritmikus eloszlás

Tömegfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

A logaritmikus eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás, mely a MacLaurin-sor kiterjesztéséből vezethető le (a MacLaurin-sor a Taylor-sor egy speciális esete):

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

Ebből kapjuk:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

A Log(p)-eloszlású valószínűségi változó tömegfüggvénye:

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

k≥1 értékekre, és ahol 0<p<1. A fentiek miatt az eloszlás normalizált. A kumulatív eloszlásfüggvény:

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

ahol B az inkomplett bétafüggvény. Poissonnal kevert Log(p)-eloszlású változónak negatív binomiális eloszlása van. Más szavakkal, ha N egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó, és X_i, i = 1, 2, 3, ...egy végtelen sora az egymástól független, azonos valószínűségi változóknak, melyeknek Log(p)-eloszlása van, akkor

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$- negatív binomiális eloszlású.

Ily módon a negatív binomiális eloszlás, egy összetett Poisson-eloszlás.

Ronald Aylmer Fisher egy publikációjában a negatív binomiális eloszlást a fajok relatív bőségének a modelljeként írja le.^[1]

Jellemző paraméterek

• Tartomány=${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$|
• Sűrűségfüggvény=${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}$|
• Kumulatív eloszlásfüggvény=${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}$|
• Középérték=${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}$|
• Módusz=${\displaystyle 1}$
• Szórásnégyzet=${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}$|
• Momentum generáló függvény=${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p\,}$|
• Karakterisztikus függvény=${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t\in \mathbb {R} \!}$|
• Generátorfüggvény=${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}}$|

Kapcsolódó szócikkek

• Poisson-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika

Irodalom

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel: Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions. (hely nélkül): John Wiley & Sons. 2005. ISBN 978-0-471-27246-5  

Források

1. (1943) „The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population”. Journal of Animal Ecology 12 (1), 42–58. o. [2011. július 26-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.2307/1411. JSTOR 1411. (Hozzáférés: 2009. július 5.) 

• A logaritmikus eloszlás a MathWorld-ön
• A logaritmikus eloszlás

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap