Négyzetmentes szám

A számelméletben a négyzetmentes számok azok a természetes számok, amelyek nem oszthatók 1-nél nagyobb szám négyzetével.

Az első néhány négyzetmentes szám:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, …

Tulajdonságaik

Egy n természetes szám pontosan akkor négyzetmentes, ha prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel. Úgy is mondhatjuk, hogy n különböző prímek szorzata. Hogyha p prím, és osztója n-nek, akkor p nem osztója n/p-nek. Egy további ekvivalens meghatározás, hogy ha n=ab, akkor a és b relatív prímek.

A μ(n) Möbius-függvény pontosan akkor nem 0, ha n négyzetmentes.

Egy egész szám radikálja mindig négyzetmentes. Egy egész szám akkor és csak akkor egyezik meg radikáljával, ha négyzetmentes.

Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha minden n rendű Abel-csoport izomorf. Az izomorfia erejéig egyértelmű csoport ciklikus. Ez a végesen generált Abel-csoportok alaptételének következménye.

Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha a Z / nZ gyűrű testek szorzata. Ez következik a kínai maradéktételből és abból következik, hogy Z / kZ akkor és csak akkor test, ha k prím.

Minden pozitív számra a szám pozitív osztói disztributív hálót alkotnak az oszthatósággal, mint rendezéssel. Ez akkor és csak akkor Boole-algebra, ha a szám négyzetmentes.

Dirichlet-generátorfüggvény

A négyzetmentes számok Dirichlet-generátorfüggvénye

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}$ ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény.

Ez látható az Euler-szorzatból:

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).}$

A négyzetmentes számok eloszlása

Ha Q(x) jelöli a négyzetmentes számok számát 1 és x között, akkor

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})}$

(lásd π és O jelölés). A négyzetmentes számok sorozatának sűrűsége tehát

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}$

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Ezt 1885-ben Gegenbauer bizonyította.

Ebből az is levezethető, hogy végtelen sokszor teljesül, hogy 3 egymásutáni pozitív egész mindegyike négyzetmentes. Bizonyítás: tegyük fel indirekten, hogy ez nem igaz, ekkor ${\displaystyle 4n,4n+1,4n+2,4n+3}$ közül az első biztos nem négyzetmentes, hiszen osztható 4-gyel, a másik három közül pedig csak legfeljebb 2 lehet négyzetmentes az indirekt feltevés miatt, de akkor a négyzetmentes számok sűrűsége legfeljebb ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ lenne, ami kisebb, mint ${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$. Az ellentmondás bizonyítja az állítást.

Hasonlóan, ha Q(x,n) jelöli az n-edik hatványmentes számok számát x-ig, akkor

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.}$

Kódolás bináris számokként

A négyzetmentes számok felírhatók, mint:

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ és }}p_{n}{\text{ az }}n{\text{. prím}}.}$

Tekinthetjük az ${\displaystyle a_{n}}$ számokat egy kettes számrendszerbeli szám jegyeinek:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}}$

Például a 42 négyzetmentes, és felbontása 2 × 3 × 7; végtelen szorzatként  · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13⁰ · ...; Így a megfelelő kettes számrendszerbeli szám ...001011, ami tízes számrendszerben 11.

A számelmélet alaptétele kimondja, hogy egy egész prímtényezős felbontása lényegében egyértelmű, ezért a fenti kódolás is egyértelmű. Megfordítva, minden pozitív egész szám dekódolható négyzetmentes számként, mivel a kettes számrendszerbeli reprezentáció is egyértelmű.

Például, ha most ismét a 42-ből indulunk ki, akkor ennek kettes számrendszerbeli alakja 101010. Innen a hozzá rendelt négyzetmentes szám 2⁰ · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13¹ = 3 × 7 × 13 = 273.

A dekódolt négyzetmentes számok nagysága alapján a pozitív egészek permutációját kapjuk. Lásd A019565, A048672 és A064273.

Sejtések

Erdős sejtette, hogy a középső binomiális együttható:

${\displaystyle {2n \choose n}}$

n>4 esetén sohasem négyzetmentes. Elég nagy egészekre belátta Sárközy András 1985-ben,^[1] és 1996-ban igazolta Olivier Ramaré és Andrew Granville.^[2]

Egy ma még nyitott sejtés szerint minden Fermat-szám négyzetmentes.

Négyzetmentes mag

A ${\displaystyle \mathrm {core} _{t}(n)}$ multiplikatív függvény a pozitív egész számokhoz (n) a t-mentes számokat rendeli, ahol a prímhatványok kitevőit modulo t tekinti:

${\displaystyle \mathrm {core} _{t}(p^{e})=p^{e\mod t}.}$

Speciálisan, a ${\displaystyle \mathrm {core} _{2}}$ értékkészlete a négyzetmentes számokból áll. Dirichlet-generátorfüggvényük

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mathrm {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}}$.

Az OEIS-ben  A007913 (t=2),  A050985 (t=3) és  A053165 (t=4).

Jegyzetek

1. András Sárközy. On divisors of binomial coefficients, I. J. Number Theory 20 (1985), no. 1, 70–80.
2. Olivier Ramaré and Andrew Granville. Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients. Mathematika 43 (1996), no. 1, 73–107

Források

• (1996) „Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. Mathematika 43, 73–107. o. DOI:10.1112/S0025579300011608. 
• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 0-387-20860-7 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Square-free integer című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.