Osztóharmonikus számok

Nem tévesztendő össze a következővel: harmonikus szám.

A számelméletben az Ore-szám (Øystein Ore után, aki 1948-ban definiálta ezeket) vagy osztóharmonikus szám^[1] (néha még harmonikus szám) olyan pozitív egész szám, melynek osztóiból harmonikus közepet képezve egész számot kapunk. Az első néhány osztóharmonikus szám:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (A001599 sorozat az OEIS-ben).

Például a 6 osztóharmonikus számnak a négy osztója 1, 2, 3 és 6. Harmonikus közepük is egész szám:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.}$

A 140 osztói 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 és 140. Harmonikus közepük:

${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5}$

5 egész szám, ezért 140 osztóharmonikus szám.

Osztóharmonikus és tökéletes számok

Ore megfigyelte, hogy bármilyen M egész számra az osztók harmonikus és a számtani középének szorzata M-mel egyezik meg, ahogy az a definíciókból is következik. Így tehát, M osztóharmonikus, osztói k harmonikus közepével, csakkor ha az osztóinak átlaga megegyezik M és az 1/k egységtört szorzatával.

Ore megmutatta, hogy minden tökéletes szám egyben osztóharmonikus szám is. Mivel egy M tökéletes szám osztóinak összege éppen 2M, ezért osztóinak átlaga M(2/τ(M)), ahol τ(M)-mel M osztóinak számát jelöljük. Bármely M-re, τ(M) akkor és csak akkor páratlan, ha M négyzetszám, hiszen egyébként M bármely d osztója párosítható egy másik M/d osztóval. De tudjuk, hogy egyetlen tökéletes szám sem négyzetszám: ez következik a páros tökéletes számok ismert formájából és hogy a páratlan tökéletes számok (ha léteznek ilyenek) szükségszerűen rendelkeznek olyan q osztóval, hogy q^α ahol α ≡ 1 (mod 4). Tehát M tökéletes számra, τ(M) páros, és az osztók átlaga az M szorzata a 2/τ(M) törttel; ezért M osztóharmonikus szám.

Ore feltevése szerint az 1-en kívül nem létezik más páratlan osztóharmonikus szám. Ha ez igaznak bizonyul, abból következik az is, hogy nem léteznek páratlan tökéletes számok.

Korlátok és számítógépes keresések

W. H. Mills megmutatta, hogy bármely egynél nagyobb páratlan osztóharmonikus számnak rendelkeznie kell 10⁷-nél nagyobb prímtényezővel, Cohen pedig igazolta, hogy legalább három prímtényezőjének kellene lennie. Cohen and Sorli (2010) megmutatták, hogy nem létezik 10²⁴-nél kisebb páratlan osztóharmonikus szám.

Cohen, Goto, és mások különböző számítógépes kereséseket végeztek a kis osztóharmonikus számok megtalálására. Előállították az ismert, 2×10⁹-nél kisebb osztóharmonikus számok listáját, valamint az összes osztóharmonikus számot, ahol az osztók harmonikus közepe legfeljebb 300.

Jegyzetek

• Bogomolny, Alexander: An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer. (Hozzáférés: 2006. szeptember 10.)

• Cohen, Graeme L. (1997). „Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean”. Mathematics of Computation 66 (218), 883–891. o. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00819-3. 

• (2010) „Odd harmonic numbers exceed 10²⁴”. Mathematics of Computation 79 (272), 2451. o. DOI:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. ISSN 0025-5718.  Posted electronically on April 9, 2010; to appear in print.

• Goto, Takeshi: (Ore's) Harmonic Numbers. [2006. január 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 10.)

• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2 

• Muskat, Joseph B. (1966). „On Divisors of Odd Perfect Numbers”. Mathematics of Computation 20 (93), 141–144. o, Kiadó: American Mathematical Society. DOI:10.2307/2004277. JSTOR 2004277. 

• Ore, Øystein (1948). „On the averages of the divisors of a number”. American Mathematical Monthly 55 (10), 615–619. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2305616. JSTOR 2305616. 

• Weisstein, Eric W.: Harmonic Divisor Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Harmonic divisor number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

1. A kifejezésnek korábban nem volt elfogadott magyar elnevezése, de a "harmonic divisor number" tükörfordításaként kevésbé félrevezető, mint a szakirodalomban néha előforduló (és más fogalmakra is használt) harmonikus szám.