Pitagoraszi prímek

Az 5 pitagoraszi prím és négyzetgyöke mindketten egész befogókkal rendelkező derékszögű háromszögek átfogói. A képletek megmutatják, hogyan lehet bármely egész oldalú derékszögű háromszöget áttranszformálni olyan egész oldalú derékszögű háromszöggé, melyek átfogója az első háromszög átfogójának a négyzete.

A pitagoraszi prímek 4n + 1 alakban felírható prímszámok. Ezek pontosan azok a páratlan prímek, melyek felírhatók két négyzetszám összegeként.

Ezzel ekvivalens megfogalmazás, hogy a Pitagorasz-tétel alapján olyan p prímszámokról van szó, melyekre √p 

egész befogójú derékszögű háromszög átfogójának hossza, valamint olyan p prímszámok, melyeknél p maga is pitagoraszi háromszög átfogója. Például az 5 pitagoraszi prím, √5
az 1 és 2 befogójú derékszögű háromszög átfogója, 5 pedig a 3 és 4 befogójúé.

Értékek és sűrűség

[szerkesztés]

Az első néhány pitagoraszi prímszám:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, ... (A002144 sorozat az OEIS-ben).

A számtani sorozatokra vonatkozó Dirichlet-tétel alapján ez a sorozat végtelen sok elemet tartalmaz. Ennél erősebb állítás, hogy bármely n természetes számra a pitagoraszi és nem pitagoraszi prímek száma nagyjából megegyezik. A tapasztalatok alapján azonban a pitagoraszi prímek száma általában valamivel kisebb a nem pitagorasziaknál, ezt a jelenséget Csebisev-torzításnak (wd) nevezik.[1] Például a 600 000-nél kisebb n értékek közül csak 26 861-re és 26 862-re igaz, hogy több nála kisebb páratlan pitagoraszi prím létezik, mint nem pitagoraszi.[2]

Kifejezhetőség két négyzetszám összegeként

[szerkesztés]

Egy páratlan és egy páros szám négyzetének összege mindig kongruens 1 mod 4, de léteznek olyan összetett számok – ilyen például a 21 –, melyek ≡1 mod 4 és mégsem fejezhetők ki két négyzetszám összegeként. A kétnégyzetszám-tétel kimondja, hogy a két négyzetszám összegeként kifejezhető prímszámok egész pontosan a 2 és azok a páratlan prímek, melyek ≡1 mod 4.[3] Az ilyen számok négyzetszámösszegként való kifejezése egyedi, a két négyzetszám sorba rendezésének erejéig.[4]

A Pitagorasz-tétel segítségével ez a felírás geometriailag is értelmezhető: a pitagoraszi prímek éppen azok a páratlan p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög, melynek átfogója √p . Ezek éppen azok a p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalhosszúságú derékszögű háromszög, melynek átfogója p hosszúságú. Hiszen ha az x és y a befogó, √p 

az átfogó (feltehetjük, hogy x > y), akkor az x2 − y2 és 2xy befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogója éppen p.[5]

A négyzetösszeg szemléletes megértésének másik módja a Gauss-egészeket hívja segítségül; ezek olyan komplex számok, melyek valós és imaginárius része is egész szám.[6] Az x + yi Gauss-egész normája x2 + y2. Így a pitagoraszi prímek (és a 2) Gauss-egészek normáiként jelentkeznek, míg a többi prím nem. A Gauss-egészek körében a pitagoraszi prímek nem prímszámok, mivel felbonthatók:

p = (x + yi)(x − yi).

Hasonló módon a négyzetük is felbontható, a prímtényezős felbontástól eltérő módon:

p2 = (x + yi)2(x − yi)2 = (x2 − y2 + 2xyi)(x2 − y2 − 2xyi).

A felbontásban szereplő tényezők valós és imaginárius részei az adott derékszögű háromszögek befogói hosszának felelnek meg.

Kvadratikus maradékok

[szerkesztés]

A kvadratikus reciprocitás tétele alapján ha p és q különböző páratlan prímek, melyek közül legalább az egyik pitagoraszi, akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q, ha q kvadratikus maradék mod p; megfordítva, ha sem p, sem q nem pitagoraszi prím, akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q, ha q nem kvadratikus maradék mod p.[7]

A Z/p véges test felett, ahol p pitagoraszi prím, az x2 = −1 egyenletnek két megoldása van. Ez úgy is megfogalmazható, hogy a −1 kvadratikus maradék mod p. Megfordítva, az egyenletnek nincs megoldása a Z/p véges test felett, ha p páratlan prím ugyan, de nem pitagoraszi.[8]

A 13 csúcsú Paley-gráf

Minden p pitagoraszi prímhez hozzárendelhető egy p csúcsú Paley-gráf, ami a modulo p számokat jelképezi; a gráfban két szám akkor és csak akkor szomszédos, ha különbségük kvadratikus maradék. Ez a definíció ugyanazt a szomszédsági relációt eredményezi a kivonandó számok sorrendjétől függetlenül, a pitagoraszi prímek azon tulajdonsága miatt, hogy a −1 kvadratikus maradék.[9]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. ↑ Rubinstein, Michael & Sarnak, Peter (1994), "Chebyshev's bias", Experimental Mathematics 3 (3): 173–197, DOI 10.1080/10586458.1994.10504289.
  2. ↑ (2006. január 1.) „Prime Number Races”. American Mathematical Monthly 113 (1), 1--33. o. DOI:10.2307/27641834. JSTOR 27641834. 
  3. ↑ Stewart, Ian (2008), Why Beauty is Truth: A History of Symmetry, Basic Books, p. 264, ISBN 9780465082377, <http://books.google.com/books?id=6akF1v7Ds3MC&pg=PA264>.
  4. ↑ LeVeque, William Judson (1996), Fundamentals of Number Theory, Dover, p. 183, ISBN 9780486689067, <http://books.google.com/books?id=F6aJtNcwyw8C&pg=PA183>.
  5. ↑ Stillwell, John (2003), Elements of Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 112, ISBN 9780387955872, <http://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA112>.
  6. ↑ Mazur, Barry (2010), "Algebraic numbers [IV.I]", in Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 315–332, ISBN 9781400830398 See in particular section 9, "Representations of Prime Numbers by Binary Quadratic Forms", p. 325.
  7. ↑ (LeVeque 1996), p. 103.
  8. ↑ (LeVeque 1996), p. 100.
  9. ↑ Chung, Fan R. K. (1997), Spectral Graph Theory, vol. 92, CBMS Regional Conference Series, American Mathematical Society, pp. 97–98, ISBN 9780821889367, <http://books.google.com/books?id=YUc38_MCuhAC&pg=PA97>.

További információk

[szerkesztés]