Praktikus számok

A számelmélet területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a praktikus számok vagy pánaritmikus számok^[1] közé, ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető. Például a 12 praktikus szám, mert 1-től 11-ig a számok kifejezhetők 12 osztóinak, tehát az 1, 2, 3, 4, 6 összegeként (beleértve magukat az osztókat): 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A praktikus számok sorozata (A005153 sorozat az OEIS-ben) így kezdődik:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

A praktikus számok megjelentek Fibonacci 1202-ben íródott Liber Abaci-jében, racionális számok egyiptomi törtekkel való kifejezésével kapcsolatban. Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát, de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései.^[2]

Maga a „praktikus szám” kifejezés (Srinivasan 1948)-nak köszönhető, aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat, amit aztán (Stewart 1954) és (Sierpiński 1955) fejezett be. Karakterizációjuk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága prímtényezős felbontásuk alapján. Minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám.

A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a prímszámokkal.^[3]

A praktikus számok karakterizációja

Ahogy (Stewart 1954) és (Sierpiński 1955) megmutatták, egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető prímfelbontása alapján. Legyen ${\displaystyle n>1}$ pozitív egész szám prímtényezős felbontása ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$ (ahol a prímek sorba vannak rendezve, ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$); ebben az esetben ${\displaystyle n}$ akkor és csak akkor praktikus szám, ha minden ${\displaystyle p_{i}}$ prímtényezője kellően kicsi ahhoz, hogy ${\displaystyle p_{i}-1}$ kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az első ${\displaystyle p_{1}}$ prímnek 2-nek kell lennie, és minden i-re 2 és k között, minden további ${\displaystyle p_{i}}$-nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget:

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

ahol ${\displaystyle \sigma (x)}$ jelöli x osztóinak összegét. Például 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 praktikus szám, mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére: 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40 és 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti (Srinivasan 1948) részleges klasszifikációját.

A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Egyrészt, a feltétel szükséges ahhoz, hogy a ${\displaystyle p_{i}-1}$ kifejezhető legyen n osztóinak összegeként, mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a ${\displaystyle p_{i}-1}$-et. Másrészt, a feltétel elégséges is, ami indukcióval megmutatható.

Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani: ha n prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket, akkor bármely ${\displaystyle m\leq \sigma (n)}$ kifejezhető n osztóinak összegeként, a következő lépésekben:

• Legyen ${\displaystyle q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k}}\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})\}}$ és legyen ${\displaystyle r=m-qp_{k}^{\sigma _{k}}}$.
• Mivel ${\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$ és ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$ indukcióval igazolhatóan praktikus számok, ezért q kifejezhető ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$ osztóösszegeként.
• Mivel ${\displaystyle r\leq \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k}}\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})=\sigma (n/p_{k})}$, és mivel ${\displaystyle n/p_{k}}$ indukcióval igazolhatóan praktikus, r felírható ${\displaystyle n/p_{k}}$ osztóinak összegeként.
• Az r-et reprezentáló osztók, együtt ${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}}$-szor a q-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják m reprezentációját mint n osztóinak összege.

Tulajdonságaik

• Az egyetlen páratlan praktikus szám az 1, mivel ha n > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki n osztóinak összegeként. Ennél erősebb (Srinivasan 1948) megfigyelése, miszerint 1 és 2 kivételével minden praktikus szám osztható 4-gyel és/vagy 6-tal.
• Két praktikus szám szorzata is praktikus szám.^[4] Ennél erősebb kitétel, hogy bármely két praktikus szám legkisebb közös többszöröse is praktikus szám.
• A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt.
• Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám.
• A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a primitív praktikus számokat. A primitív praktikus számok olyan praktikus számok, melyek vagy négyzetmentes számok, vagy elosztva valamely 1-nél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot. A primitív praktikus számok sorozata (A267124 sorozat az OEIS-ben) így kezdődik:

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Kapcsolatuk más számcsoportokkal

Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik, ami kizárólag praktikus számokból áll:

• Abból, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám, következik, hogy 2 és 3 minden hatványának hatszorosa is praktikus szám.
• Minden kettőhatvány praktikus szám.^[5] Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket: a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő p₁ a feltételek szerint megegyezik kettővel.
• Minden páros tökéletes szám is praktikus szám.^[5] Ez következik Leonhard Euler eredményéből, miszerint minden páros tökéletes szám felírható 2^n − 1(2ⁿ − 1) alakban. A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével, így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet. Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit.
• Minden primoriális (az első valahány prímszám szorzata) praktikus szám.^[5] Az első két primoriálisra, 2-re és 6-ra ez egyértelmű. A többi primoriálist úgy képezzük, hogy egy p_i prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal, ami osztható 2-vel és a következő legkisebb prímszámmal, p_i − 1-gyel. A Bertrand-posztulátum alapján p_i < 2p_i − 1, tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál. Indukcióval belátható, hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának.
• A primoriálisokat általánosítva, bármely szám, ami az első k prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő, szintén praktikus szám. Ebbe beletartoznak a Rámánudzsan által definiált erősen összetett számok (számok, melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál) és a faktoriális számok is.^[5]

Praktikus számok és egyiptomi törtek

Ha n praktikus szám, akkor bármely m/n alakú racionális szám kifejezhető a ∑d_i/n összeggel, ahol minden d_i az n-nek különböző osztója. Az összeg minden tagja egységtörtté egyszerűsíthető, ezért az összeg megfelel m/n egyiptomi törtként való kifejezésének. Például:

${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$

Fibonacci 1202-es Liber Abaci-jében^[2] számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására. Ezek közül az első annak vizsgálata, hogy a szám esetleg máris egységtört, de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt, ha a nevező praktikus szám. Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez, ahol a számláló a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 praktikus számok egyike.

(Vose 1985) megmutatta, hogy minden x/y alakú szám kifejezhető legfeljebb ${\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log y}})}$ tagból álló egyiptomi tört alakban. A bizonyítás részeként praktikus számok n_i sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal, hogy minden n_i-nél kisebb szám felírható az n_i szám ${\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}$ különböző osztójának összegeként. Ekkor úgy választjuk meg i-t, hogy n_i − 1 < y ≤ n_i és xn_i-t y-nal elosztva q-t kapunk r maradékkal. Az előző választásainkból következik, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}$. A jobb oldal számlálóit kibontva n_i osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot. (Tenenbaum & Yokota 1990) hasonló technikát alkalmaz, de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására, hogy minden x/y alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon, hogy a legnagyobb nevező ${\displaystyle \scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}})}$.

Szun Cse-vej 2015. szeptemberi sejtése szerint^[6] bármely pozitív racionális szám felírható véges számú praktikus szám reciprokösszegeként, tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként, ahol minden nevező praktikus szám. A sejtés bizonyítása David Eppstein blogján olvasható.^[7]

Prímszámokkal való analógiák

A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka, hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a prímszámokra. Valóban, léteznek a Goldbach-sejtésnek és az ikerprím-sejtésnek analógiái praktikus számokra nézve: minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként, illetve végtelen számú x − 2, x, x + 2 alakú praktikusszám-triplet létezik.^[8] Melfi megmutatta, hogy végtelen számú praktikus Fibonacci-szám létezik (A124105 sorozat az OEIS-ben); az analóg kérdés, hogy létezik-e végtelen számú Fibonacci-prím, még eldöntetlen. (Hausman & Shapiro 1984) megmutatta, hogy bármely pozitív valós x-re létezik praktikus szám az [x²,(x + 1)²] intervallumban, ami analóg a prímszámokra vonatkozó Legendre-sejtéssel.

Jelölje p(x) a legfeljebb x nagyságú praktikus számok számát. (Margenstern 1991) sejtése szerint p(x) aszimptotikusan egyenlő cx/log x-szel valamely c konstansra, ami a prímszámtételre emlékeztető képlet. A képlet megerősíti (Erdős & Loxton 1979) sejtését, miszerint a praktikus számok zéró sűrűséggel helyezkednek el az egészek között. (Saias 1997) bizonyította, hogy megfelelő c₁ és c₂ konstansokra:

${\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},}$

Végül (Weingartner 2015) bizonyította Margenstern sejtését, megmutatva, hogy

${\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right),}$

ha ${\displaystyle x\geq 3}$ és a konstans ${\displaystyle c>0}$.

Egyéb sejtések

Szun Cse-vej 2013-as sejtése szerint az ${\displaystyle a(n)^{(1/n)}}$ (n = 3, 4,...) sorozat szigorúan monoton csökkenő, határértéke 1.

Szun Cse-vej 2015-ös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan, páronként különböző q(1)..q(k) praktikus számok, melyekre igaz, hogy ${\displaystyle r=\sum _{j=1..k}{\frac {1}{q(j)}}.}$
Például 2 = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12, ahol 1, 2, 4, 6 és 12 praktikus számok, vagy 10/11 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/48 + 1/132 + 1/176, ahol 2, 4, 8, 48, 132 és 176 praktikus számok.

Jegyzetek

1. (Margenstern 1991) idézi (Robinson 1979) és (Heyworth 1980)-t a pánaritmikus számok kifejezések terén.
2. (Sigler 2002).
3. (Hausman & Shapiro 1984); (Margenstern 1991); (Melfi 1996); (Saias 1997).
4. Margenstern,1991
5. (Srinivasan 1948).
6. A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes. [2018. október 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. november 22.)
7. 0xDE: Egyptian fractions with practical denominators. [2017. március 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. november 22.)
8. (Melfi 1996).

Irodalom

• Erdős, Paul & Loxton, J. H. (1979), "Some problems in partitio numerorum", Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 27 (03): 319–331, DOI 10.1017/S144678870001243X.
• Heyworth, M. R. (1980), "More on panarithmic numbers", New Zealand Math. Mag. 17 (1): 24–28. As cited by (Margenstern 1991).
• Hausman, Miriam & Shapiro, Harold N. (1984), "On practical numbers", Communications on Pure and Applied Mathematics 37 (5): 705–713, DOI 10.1002/cpa.3160370507.
• Margenstern, Maurice (1984), "Résultats et conjectures sur les nombres pratiques", C. R. Acad. Sci. Sér. I 299 (18): 895–898. As cited by (Margenstern 1991).
• Margenstern, Maurice (1991), "Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures", Journal of Number Theory 37 (1): 1–36, DOI 10.1016/S0022-314X(05)80022-8.
• Melfi, Giuseppe (1996), "On two conjectures about practical numbers", Journal of Number Theory 56 (1): 205–210, DOI 10.1006/jnth.1996.0012.
• Mitrinović, Dragoslav S.; Sándor, József & Crstici, Borislav (1996), "III.50 Practical numbers", Handbook of number theory, Volume 1, vol. 351, Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers, pp. 118–119, ISBN 978-0-7923-3823-9.
• Robinson, D. F. (1979), "Egyptian fractions via Greek number theory", New Zealand Math. Mag. 16 (2): 47–52. As cited by (Margenstern 1991) and (Mitrinović, Sándor & Crstici 1996).
• Saias, Eric (1997), "Entiers à diviseurs denses, I", Journal of Number Theory 62 (1): 163–191, DOI 10.1006/jnth.1997.2057.
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag, pp. 119–121, ISBN 0-387-95419-8.
• Sierpiński, Wacław (1955), "Sur une propriété des nombres naturels", Annali di Matematica Pura ed Applicata 39 (1): 69–74, DOI 10.1007/BF02410762.
• Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers", Current Science 17: 179–180, <http://www.currentscience.ac.in/Downloads/article_id_017_06_0179_0180_0.pdf>.
• Stewart, B. M. (1954), "Sums of distinct divisors", American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 76 (4): 779–785, DOI 10.2307/2372651.
• Tenenbaum, G. & Yokota, H. (1990), "Length and denominators of Egyptian fractions", Journal of Number Theory 35 (2): 150–156, DOI 10.1016/0022-314X(90)90109-5.
• Vose, M. (1985), "Egyptian fractions", Bulletin of the London Mathematical Society 17 (1): 21, DOI 10.1112/blms/17.1.21.
• Weingartner, A. (2015), "Practical numbers and the distribution of divisors", The Quarterly Journal of Mathematics 66 (2): 743–758, DOI 10.1093/qmath/hav006.

További információk

• Tables of practical numbers Archiválva 2017. december 26-i dátummal a Wayback Machine-ben compiled by Giuseppe Melfi.
• Practical Number a PlanetMath.org oldalon.
• Weisstein, Eric W.: Practical Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld