Reziduumtétel

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondása

Ha ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ tartomány, ${\displaystyle D_{f}}$ véges sok izolált pont halmaza ${\displaystyle D}$-ben, és ${\displaystyle f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }$ holomorf, akkor minden nullhomológ ${\displaystyle \Gamma \subset D}$ ahol még ${\displaystyle \operatorname {trace} \,\Gamma \cap D_{f}=\emptyset }$ és ${\displaystyle \operatorname {ind_{\Gamma }} }$ a görbe körülfordulási száma:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }f=\sum \limits _{a\in D_{f}}\operatorname {ind} _{\Gamma }(a)\operatorname {Res} _{a}f}$

A jobb oldal mindig véges, mivel ${\displaystyle \Gamma }$ nullhomológ, tehát ${\displaystyle \operatorname {Int} \,\Gamma }$ relatív kompakt ${\displaystyle D}$-ben, így korlátos.

• Ha a ${\displaystyle D_{f}}$-beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:

${\displaystyle \int _{\Gamma }\,f=0.}$

• Ha ${\displaystyle f}$ holomorf ${\displaystyle D}$-ben és ${\displaystyle z\in D}$, és ${\displaystyle \textstyle \zeta \mapsto {\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}}$-nak elsőrendű pólusa van ${\displaystyle z}$-ben${\displaystyle f(z)}$ reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta =\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z).}$

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál

Ha ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ meromorf ${\displaystyle D}$-ben, és ${\displaystyle N}$ f nullhelyeinek, ${\displaystyle P}$ pólusainak halmaza, és ${\displaystyle \operatorname {trace} \,\Gamma \cap \left(N\cup P\right)=\emptyset }$, akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f'}{f}}=\sum \limits _{a\in N\cup P}\operatorname {ind} _{\Gamma }(a)\operatorname {ord} _{a}f}$

ahol

${\displaystyle \operatorname {ord} _{a}f:={\begin{cases}k,&{\mbox{ ha }}f{\mbox{-nek }}a{\mbox{-ban }}k{\mbox{-adrendű nullhelye van }}\\-k,&{\mbox{ ha }}f{\mbox{-nek }}a{\mbox{-ban }}k{\mbox{-adrendű pólusa van}}\\0,&{\mbox{különben}}\end{cases}}}$

${\displaystyle f}$ null-, illetve pólushelyeinek rendje ${\displaystyle a}$-ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

${\displaystyle \operatorname {ord} _{a}f=\operatorname {Res} _{a}{\frac {f'(z)}{f(z)}}}$.

Alkalmazásai

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvények

Ha ${\displaystyle f={\tfrac {p}{q}}}$ a ${\displaystyle \operatorname {deg} \,p+2\leq \operatorname {deg} \,q}$ és a ${\displaystyle q(z)\neq 0}$ polinomok hányadosa minden ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$-re, akkor

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}f(z)}$,

ahol ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} z>0\}}$ a felső félsík, és egy elég nagy ${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$-re és ${\displaystyle \alpha \colon [0,\pi ]\to \mathbb {C} }$-val és ${\displaystyle t\mapsto Re^{\mathrm {i} t}}$-val kiegészítve integrálunk a ${\displaystyle \Gamma :=[-R,R]\oplus \alpha }$ zárt félkörön, és tekintjük az ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$ határátmenetet. ${\displaystyle \left|{\tfrac {p(z)}{q(z)}}\right|\leq {\tfrac {c_{p}|z|^{\operatorname {deg} \,p}}{c_{q}|z|^{\operatorname {deg} \,q}}}\leq {\tfrac {c}{|z|^{2}}}}$ miatt egy elég nagy ${\displaystyle |z|}$-re és a ${\displaystyle c,c_{p},c_{q}\in \mathbb {R} }$-re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

${\displaystyle \left|\int _{\alpha }f\right|\leq L(\alpha )\cdot \max _{\zeta \in \operatorname {im} \alpha }\left|f(\zeta )\right|\leq \pi R\cdot {\frac {c}{R^{2}}}\rightarrow 0\,(R\rightarrow \infty )}$, tehát ${\displaystyle \textstyle \int _{\Gamma }f\rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z\,(R\rightarrow \infty )}$ és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{\pm \mathrm {i} \}\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z^{2}+1}}}$ első rendű pólussal ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$-ben. Ekkor ${\displaystyle \operatorname {Res} _{\mathrm {i} }f(z)={\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}}$, és így ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}=\pi }$.

Törtracionális függvények exponenciális függvénnyel

Legyenek ${\displaystyle P}$ és ${\displaystyle Q}$ polinomok úgy, hogy ${\displaystyle deg(P)+1\leq deg(Q)}$, ne legyenek a ${\displaystyle Q}$ polinomnak valós gyökei, és jelölje a felső félsíkban levő gyökeit (pozitív képzetes rész) ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$. Ekkor minden ${\displaystyle \alpha >0}$ esetén

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}\exp(i\alpha x)\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \sum _{i=1}^{k}\operatorname {Res} _{a_{i}}f(z)}$

ahol ${\displaystyle f(z):={\frac {P(z)}{Q(z)}}\exp(i\alpha z)}$. Most a ${\displaystyle \Gamma }$ zárt út ${\displaystyle -R}$-től ${\displaystyle R}$-ig megy, majd egy félkörív zárja le az óramutató járásával ellentétes irányban. Most rögzítsünk egy ${\displaystyle r>R}$ pozitív valós számot, és a félkört burkoljuk az óramutató járásával ellentétes irányban bejárt ${\displaystyle -r,r,r+ir,-r+ir}$ téglalappal. A függőleges szakaszokat felosztjuk úgy, hogy az osztópontokban ${\displaystyle Im(z)={\sqrt {r}}}$, és ezután külön kezeljük a felső és az alsó részt. A jobb egyenes alsó részén ${\displaystyle \int _{r}^{r+i{\sqrt {r}}}f(z)dz\leq C{\frac {\sqrt {r}}{r}}}$, ami nullához tart; hasonlóan nullához tart a bal egyenes alsó részén. Az ${\displaystyle Im(z)>{\sqrt {r}}}$ esetben ${\displaystyle |\exp(i\alpha z)|\leq \exp(-\alpha {\sqrt {r}})}$. Ez azt jelenti, hogy a téglalap teljes felső részén nullához tart, és a fenti állítás igaz.

Példa: Legyen ${\displaystyle {\frac {x\exp {(2ix)}}{x^{2}+1}}}$, ami megfelel az összes fenti követelménynek, mivel gyökei ${\displaystyle \pm i}$ alakúak. Eszerint:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\exp {2ix}}{(x+i)(x-i)}}\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \operatorname {Res} _{i}f(z)=i\pi \exp {(-2)}}$

Törtracionális függvény nem egész termmel

Legyenek ${\displaystyle P}$ és ${\displaystyle Q}$ polinomok, továbbá ${\displaystyle \operatorname {deg} \,Q>\operatorname {deg} \,P+\lambda }$, ahol ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}\backslash \mathbb {Z} }$, és ne legyenek a ${\displaystyle Q}$ polinomnak gyökei ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$-ben, valamint ${\displaystyle P/Q}$-nak nullában. Ekkor:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}{\frac {P(x)}{Q(x)}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin {(\lambda \pi )}}}\sum _{p\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R^{+}} }\operatorname {Res} _{p}(-z)^{\lambda -1}{\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

Példa: ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3/2-1}}{x^{2}+1}}}$, ekkor ${\displaystyle \lambda =3/2}$, a függvény pólusa van a ${\displaystyle \pm i}$ helyeken, ezzel a további követelmények is teljesülnek. Ekkor ${\displaystyle \operatorname {Res} _{\pm i}f(z)={\frac {(\mp i)^{1/2}}{\pm 2i}}}$, tehát

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x=-\pi \left({\frac {\sqrt {-i}}{2i}}+{\frac {\sqrt {i}}{-2i}}\right)={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}$

Trigonometrikus függvények

Legyen ${\displaystyle r={\tfrac {p}{q}}}$ két polinom hányadosa, ahol ${\displaystyle q(x,y)\neq 0}$ minden ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} }$-re, továbbá ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Ekkor

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }r(\cos t,\sin t)\mathrm {d} t\\=&\int _{0}^{2\pi }r\left({\frac {e^{\mathrm {i} t}+e^{-\mathrm {i} t}}{2}},{\frac {e^{\mathrm {i} t}-e^{-\mathrm {i} t}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} t\\=&\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {1}{\mathrm {i} z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} {z}\\=&2\pi \sum _{a\in \mathbb {E} }\operatorname {Res} _{a}\left({\frac {1}{z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\right),\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \mathbb {E} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} t}{2+\sin t}}=2\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+4\mathrm {i} z-1}}=4\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {1}{2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }}={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}}$,

mivel ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z^{2}+4\mathrm {i} z-1}}}$-nek elsőrendű pólusa van ${\displaystyle \left(-2\pm {\sqrt {3}}\right)\mathrm {i} }$-ben, de csak a ${\displaystyle \left(-2+{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i} }$-ben levő pólusa fekszik ${\displaystyle \mathbb {E} }$-ben, és ott ${\displaystyle f}$ reziduuma ${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }}}$.

Fourier-transzformált

Adva legyen egy ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )\cap L^{1}(\mathbb {R} )}$ függvény, továbbá az ${\displaystyle a_{1},...a_{k}\in \mathbb {H} }$ pontok, ahol ${\displaystyle f\in \mathbb {O} (\{z,\operatorname {Im} z>-\varepsilon \}\cap \{a_{1},...a_{k}\})}$, és ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Ekkor van két ${\displaystyle C,\delta >0}$ szám, hogy ${\displaystyle \left|f(z)\right|\leq C\left|z\right|^{-1-\delta }}$ elég nagy ${\displaystyle \left|z\right|}$-re, ekkor minden ${\displaystyle x>0}$-re

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y)e^{\mathrm {i} xy}\mathrm {d} y=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}(f(z)e^{\mathrm {i} xz}).}$

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül ${\displaystyle x<0}$-ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

Bizonyítása

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a ${\displaystyle C_{j}}$ körök ${\displaystyle z_{j}}$ középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a ${\displaystyle D}$ tartományban. Vegyük ezeket a köröket a ${\displaystyle \gamma }$ lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot ${\displaystyle \gamma _{1}}$-nek! Az általános Cauchy-tétellel

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\operatorname {d} z=\int _{\gamma }f(z)\operatorname {d} z-\sum _{j}n(\gamma ,z_{j})\int _{C_{j}}f(z)\operatorname {d} z}$

Az ${\displaystyle f}$ függvény reziduumának integrálos alakja:

${\displaystyle a_{-1}^{(j)}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{j}}f(z)\operatorname {d} z}$

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

Általánosítása

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

Források

• Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Residuensatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap