Schauder-bázis

A funkcionálanalízisben egy Banach-tér Schauder-bázisa egy ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat, ha minden vektor előáll ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}\cdot b_{n},\;\xi _{n}\in \mathbb {K} }$ konvergens sorként. Megkülönböztetendő a Hamel-bázistól, aminek véges lineáris kombinációkkal kell előállítania a tér vektorait.

A Schauder-bázis a lengyel Juliusz Schauderről (1899–1943) kapta a nevét, aki 1927-ben írta le.

Definíció

Legyen ${\displaystyle (X,\left\|\cdot \right\|)}$ Banach-tér a ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ vagy ${\displaystyle \mathbb {C} }$ fölött! Egy ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat Schauder-bázis ${\displaystyle X}$-ben, ha minden ${\displaystyle x\in X}$ előáll ${\displaystyle \textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}\cdot b_{n},\;\xi _{n}\in \mathbb {K} }$ konvergens sorként.

Példák

A ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}:=\left\{(x_{j})_{j=1}^{\infty },x_{j}\in \mathbb {R} \,:\,\sum _{j=1}^{\infty }|x_{j}|^{p}<\infty \right\}}$ sorozattérben a ${\displaystyle \textstyle \left\|x\right\|_{\ell ^{p}}={\sqrt[{p}]{\sum _{j=1}^{\infty }|x_{j}|^{p}}}}$ ℓ^p-normájú halmaznak Schauder-bázisa a ${\displaystyle (1,0,0,\dotsc ),(0,1,0,0,\dotsc ),\dotsc }$ egységvektorok.

Végezzük el a ${\displaystyle h_{1}(x)=1}$ helyettesítésre minden ${\displaystyle x\in [0,1]}$-re, és definiáljuk minden ${\displaystyle 1\leq i\leq 2^{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$-re ${\displaystyle h_{2^{n}+i}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$-t úgy, mint:

${\displaystyle h_{2^{n}+i}(x)={\begin{cases}1,&(2i-2)/2^{n+1}\leq x<(2i-1)/2^{n+1},\\-1,&(2i-1)/2^{n+1}\leq x<2i/2^{n+1},\\0&{\text{egyébként}}.\end{cases}}}$

Konstans tényező erejéig minden ${\displaystyle h_{k}}$ egy ${\displaystyle [0,1)}$-re korlátozott Haar-wavelet függvény. A Haar Alfrédról Haar-rendszernek nevezett ${\displaystyle (h_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ sorozat az L^p([0,1]) térben a ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ halmaz Schauder-bázisa.

A ${\displaystyle C([0,1])}$ egy Schauder-bázisának konstruálásához legyen ${\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ egy ismétlések nélküli, sűrű sorozat ${\displaystyle [0,1]}$-ben, és legyen ${\displaystyle q_{1}=0,q_{2}=1}$! Ehhez vesszük például az egységintervallum racionális pontjainak bijektív felsorolását, például felezéses módszerrel: ${\displaystyle 0,1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {3}{8}},{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {7}{8}},\ldots ,{\tfrac {2k+1}{2^{n}}},\ldots }$

Legyen minden ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$-re definiálva ${\displaystyle e_{n}\in C([0,1])}$ úgy, hogy ${\displaystyle e_{1}}$ = konstans 1, és minden további ${\displaystyle n>1}$-re legyen ${\displaystyle e_{n}(q_{n})=1}$, ${\displaystyle e_{n}(q_{k})=0}$ minden ${\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}$-re, és ${\displaystyle e_{n}}$ legyen affin-lineáris ${\displaystyle [0,1]\setminus \{q_{1},\ldots ,q_{n}\}}$-en! Ekkor az ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat Schauder-bázisa C([0,1])-nek.^[1] Ez a konstrukció Juliusz Schaudertől származik, és ezt a bázist nevezik a Schauder-bázisnak.

Tulajdonságok

Általános tulajdonságok

Ha egy Banach-térben van Schauder-bázis, akkor szeparábilis, mivel a véges lineáris kombinációk a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, illetve ${\displaystyle \mathbb {Q} +i\mathbb {Q} }$-ból származó együtthatókkal sűrű, megszámlálható halmazt alkotnak.

A megfordítás nem teljesül: ha egy Banach-tér szeparábilis, az nem garantál Schauder-bázist.^[2]

A Schauder-bázisos Banach-terek approximációs tulajdonságúak.

Végtelen dimenziós vektorterekben egy Schauder-bázis sosem Hamel-bázis, mivel végtelen dimenziós terekben egy Hamel-bázis mindig megszámlálhatatlan. Lásd: Baire-tétel.

Együttható-funkcionálok

Egy ${\displaystyle x\in X}$ elem ábrázolása egy Schauder-bázisban definíció szerint egyértelmű. A ${\displaystyle b_{n}^{\ast }\colon x\mapsto \xi _{n}}$ hozzárendeléseket együttható-funkcionáloknak nevezik; folytonosak és lineárisak, így elemei ${\displaystyle X}$ duális terének.

További tulajdonságok

Ha ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ az ${\displaystyle X}$ Banach-tér Schauder-bázisa, akkor van egy ${\displaystyle K>0}$ konstans úgy, hogy ha ${\displaystyle p<q}$, akkor bárhogy választjuk az ${\displaystyle \xi _{n}\in {\mathbb {K} }}$ skalárokat, teljesül a ${\displaystyle \textstyle \left\|\sum _{n=1}^{p}\xi _{n}b_{n}\right\|\,\leq \,K\cdot \left\|\sum _{n=1}^{q}\xi _{n}b_{n}\right\|}$ egyenlőtlenség. A megfelelő ${\displaystyle K>0}$ számok infimumát báziskonstansnak nevezik. A bázis monoton, ha báziskonstans egyenlő eggyel.

Egy ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bázis korlátosan teljes, ha skalárok minden ${\displaystyle (\xi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozatára, ahol ${\displaystyle \textstyle \sup _{m\in \mathbb {N} }\left\|\sum _{n=1}^{m}\xi _{n}b_{n}\right\|<\infty }$ létezik ${\displaystyle x\in X}$, amire ${\displaystyle \textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}b_{n}}$.

Legyen továbbá ${\displaystyle X_{n}\subset X}$ a ${\displaystyle (b_{j})_{j\geq n}}$ által generált zárt altér, és minden ${\displaystyle f\in X\,'}$ elemre legyen ${\displaystyle \|f|_{X_{n}}\|}$ a korlátos ${\displaystyle f|_{X_{n}}\in X_{n}'}$ funkcionál normája. A bázis zsugorodó, ha ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f|_{X_{n}}\|=0}$ eleme minden ${\displaystyle f\in X\,'}$-re.

Végezetül feltétlen bázisról beszélünk, ha minden ${\displaystyle \textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}b_{n}}$ sor bázis szerinti kifejtése feltétlen konvergens. Az ${\displaystyle \ell ^{p}}$-terek standard bázisai feltétlen konvergensek. A ${\displaystyle C([0,1])}$ térnek nincs feltétlen bázisa. A Pelczynski-féle u-tulajdonsággal megmutatható, hogy nem is altere olyan Banach-térnek, melynek feltétlen bázisa van. Továbbá belátható, hogy a Haar-rendszer ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$-ben minden ${\displaystyle 1<p<\infty }$ esetén feltétlen bázis. Ha viszont ${\displaystyle p=1}$, akkor nem feltétlen bázis. A ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ térnek nincs feltétlen bázisa.

Robert C. James tételei

Tétel: Legyen ${\displaystyle X}$ Schauder-bázisos Banach-tér; ekkor ${\displaystyle X}$ reflexív, ha a bázis teljes és zsugorodó.

Feltétlen Schauder-bázis esetén a tér jellemezhető bizonyos alterek tartalmazásával. Legyen ${\displaystyle X}$ Banach-tér, feltétlen Schauder-bázissal; ekkor:

• ${\displaystyle X}$ nem tartalmaz a c₀-lal izomorf alteret; ekkor a tér korlátosan teljes.
• ${\displaystyle X}$ nem tartalmaz az ${\displaystyle \ell ^{1}}$-gyel izomorf alteret; ekkor a bázis zsugorodó.

A tétel következménye: Legyen ${\displaystyle X}$ Banach-tér, feltétlen Schauder-bázissal; ekkor ${\displaystyle X}$ pontosan akkor reflexív. ha ${\displaystyle X}$ nem tartalmaz ${\displaystyle c_{0}}$-hoz vagy ${\displaystyle \ell ^{1}}$-gyel izomorf alteret.

Jegyzetek

1. F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 9f
2. Per Enflo: A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Mathematica, Band 130, Nr. 1, Juli 1973, S. 309–317

Források

• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry, Elesevier Science Publishers (1985) ISBN 0-444-87878-5
• Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolas S. Papageorgiou: An introduction to nonlinear analysis. Kluwer, Boston 2003, ISBN 0-306-47392-5
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
• Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis: Functional analysis. An introduction. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3646-3
• Ivan Singer: Bases in Banach spaces I (1970) und Bases in Banach spaces II (1981), Springer Verlag

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schauderbasis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.