Shapiro-egyenlőtlenség

A Shapiro-egyenlőtlenség egy egyenlőtlenség, melyet Harold Shapiro vetett fel 1954-ben.

Az egyenlőtlenség állítása

Amennyiben n páros és legfeljebb 12 vagy n páratlan és legfeljebb 23, akkor:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$,

ahol ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$.

A probléma eredeti felvetése nagyobb n-eket is megengedett, ám ezekre az állítás nem igaz, az alsó határ pedig ${\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}$, ahol ${\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots }$.

Az n = 12 (Godunova és Levin, 1976) és n = 23 (Troesch, 1989)-re adott eredeti bizonyítások számolásokon alapulnak, de 2002-ben P.J. Bushell és J.B. McLeod adott az n = 12 esetre egy analitikus bizonyítást.

A γ értékét Vladimir Drinfeld határozta meg 1971-ben. Pontosabban, Drinfeld bemutatta, miszerint γ-t a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\psi (0)}$ adja meg, ahol ψ a konvex burokfüggvénye az f(x) = e^-x és ${\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}}$ függvények együttesének (azaz a ψ fölötti terület f és g konvex burka).

Igazak továbbá azon állítások, hogy f(x₁,x₂,...,x_n)-nel jelölve a fenti egyenlőtlenség bal oldalát, f(x₁,x₂,...,x_n)+f(x_n,x_n-1, ..., x₁) ${\displaystyle \geq }$n, továbbá az eredeti egyenlőtlenség is igaz monoton x_i-sorozatokra.

Ellenpéldák nagyobb n-ekre

Az első ellenpéldát Lighthill találta meg 1956-ban, n = 20-ra:

${\displaystyle x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )}$ ahol ${\displaystyle \epsilon }$ elég közel van 0-hoz.

Ekkor a bal oldal ${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$, így kisebb 10-nél, ha ${\displaystyle \epsilon }$ elég kicsi.

Ellenpélda n = 14-re Troesch által (1985):

${\displaystyle x_{14}}$ = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985).

Ellenpélda n=25-re:

${\displaystyle x_{25}}$ = (32, 0, 37, 0, 43, 0, 50, 0, 59, 8, 62, 21, 55, 29, 44, 32, 33, 31, 24, 30, 16, 29, 10, 29, 4)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Shapiro's inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• A. Khrabrov: Shapiro's inequality