Smarandache–Wellin-számok

A matematika, azon belül a számelmélet területén a Smarandache–Wellin-számok olyan természetes számok, melyek adott számrendszerben az első n prímszám egymás után írásával állíthatók elő. Nevüket Florentin Smarandache-ról és Paul R. Wellinről kapták.

Tízes számrendszerben az első néhány Smarandache–Wellin-szám:

2, 23, 235, 2357, 235711, 23571113, 2357111317, 235711131719, 23571113171923, 2357111317192329, ... (A019518 sorozat az OEIS-ben).

Smarandache–Wellin-prímek

[szerkesztés]

Az olyan Smarandache–Wellin-számok, amik egyben prímszámok is, a Smarandache–Wellin-prímek. Az első három a 2, 23 és 2357 (A069151 sorozat az OEIS-ben). A negyedik 355 jegyű és 719-re végződik.[1]

A Smarandache–Wellin-prím felírásakor legutoljára felírt prímszámok sorozata:

2, 3, 7, 719, 1033, 2297, 3037, 11927, ... (A046284 sorozat az OEIS-ben).

A Smarandache–Wellin-prímek indexei a Smarandache–Wellin-számok sorozatában:

1, 2, 4, 128, 174, 342, 435, 1429, ... (A046035 sorozat az OEIS-ben).

Az 1429-edik Smarandache–Wellin-szám egy 5719 jegyű valószínű prím, 11927-tel végződik, és Eric W. Weisstein fedezte fel 1998-ban.[2] Ha prímnek bizonyul, ez lesz a nyolcadik Smarandache–Wellin-prím. 2009 márciusában Weisstein keresése kimutatta, hogy a következő Smarandache–Wellin-prím indexe (ha létezik) legalább 22 077.[3]

Smarandache-számok

[szerkesztés]

A Smarandache-számok a számok egymás után írásával állnak elő 1-től n-ig. Tehát:

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 12345678910, 1234567891011, 123456789101112, 12345678910111213, 1234567891011121314, 123456789101112131415, ... (A007908 sorozat az OEIS-ben)

Smarandache-prímek

[szerkesztés]

A Smarandache-prímek olyan Smarandache-számok, amik egyben prímszámok is. Az első 200 000 Smarandache-szám közül azonban egyetlen prímet sem találtak. A sejtés szerint végtelen sok ilyen prímnek kell léteznie, de 2015 novemberéig egyetlen ilyet sem találtak.[4]

A Smarandache-számok prímtényezős felbontása

[szerkesztés]
n Sm(n) prímfelbontása n Sm(n) prímfelbontása
1 1 16 22 × 2507191691 × 1231026625769
2 22 × 3 17 32 × 47 × 4993 × 584538396786764503
3 3 × 41 18 2 × 32 × 97 × 88241 × 801309546900123763
4 2 × 617 19 13 × 43 × 79 × 281 × 1193 × 833929457045867563
5 3 × 5 × 823 20 25 × 3 × 5 × 323339 × 3347983 × 2375923237887317
6 26 × 3 × 643 21 3 × 17 × 37 × 43 × 103 × 131 × 140453 × 802851238177109689
7 127 × 9721 22 2 × 7 × 1427 × 3169 × 85829 × 2271991367799686681549
8 2 × 32 × 47 × 14593 23 3 × 41 × 769 × 13052194181136110820214375991629
9 32 × 3607 × 3803 24 22 × 3 × 7 × 978770977394515241 × 1501601205715706321
10 2 × 5 × 1234567891 25 52 × 15461 × 31309647077 × 1020138683879280489689401
11 3 × 7 × 13 × 67 × 107 × 630803 26 2 × 34 × 21347 × 2345807 × 982658598563 × 154870313069150249
12 23 × 3 × 2437 × 2110805449 27 33 × 192 × 4547 × 68891 × 40434918154163992944412000742833
13 113 × 125693 × 869211457 28 23 × 47 × 409 × 416603295903037 × 192699737522238137890605091
14 2 × 3 × 205761315168520219 29 3 × 859 × 24526282862310130729 × 19532994432886141889218213
15 3 × 5 × 8230452606740808761 30 2 × 3 × 5 × 13 × 49269439 × 370677592383442753 × 17333107067824345178861

Általánosítások

[szerkesztés]

Mivel az eredeti definíció szerint nem találtak Smarandache-prímeket, három érdekes általánosítást végeztek el:

  • A legkisebb k szám, amire k darab egymást követő természetes számot egymás után írva az n-től kezdve prímet kapunk, az egyes n-ekre:
?, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 179, ?, 1, 2, 1, 4, 5, 28, 1, 3590, 1, 4, ?, ?, 1, ?, 25, 122, ?, 46, 1, ?, 1, ?, 71, 4, 569, 2, 1, 20, 5, ?, 1, 2, 1, 8, ?, ?, 1, ?, 193, 2, ?, ?, 1, ?, ?, 2, 5, 4, 1, ?, 1, 2, ?, 4, ... (A244424 sorozat az OEIS-ben)
  • A legkisebb k, amire az 1, 2, 3, ..., k tízes számrendszerbeli számok egymás után írásával, de n kihagyásával prímet kapunk, az egyes n-ekre:
2, 3, 7, 9, 11, 7, 11, 1873, 19, 14513, 13, 961, ?, 653, ?, 5109, 493, 757, 29, 1313, ... (A262300 sorozat az OEIS-ben)
  • A legkisebb k, amire az első k számot egymás után írva az n alapú számrendszerben prímet kapunk, az egyes n-ekre:
2, 15, 2, ?, 2, 11, 10, 3, 2, ?, 2, 5, ?, 3, 2, 13, 2, ?, ?, 3, 2, ?, 9, 7, ?, ?, 2, ?, 2, 7, ?, 3, 5, 25, 2, 323, 226, 3, 2, ?, 2, 5, ?, 3, 2, 31, 85, 7, ?, ?, 2, ?, 14, 5, ?, 3, 2, ?, 2, ?, ?, 15, 10, ?, ...

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. ↑ Pomerance, Carl B.. Prime Numbers: a computational perspective. Springer, 78 Ex 1.86. o. (2001). ISBN 0-387-25282-7 
  2. ↑ Rivera, Carlos, Primes by Listing
  3. ↑ Weisstein, Eric W.: Integer Sequence Primes (angol nyelven). Wolfram MathWorld Retrieved 2011-07-28.
  4. ↑ Smarandache Prime